LVI OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

LVI OM, 2004-2005

Etap:

Rozstrzygnąć, czy istnieje nieskończony ciąg liczb naturalnych $a_1,a_2, a_3,\ldots$ spełniający równanie

$ \frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{a_{n+1}} + \frac{1}{a_{n+2}} \textrm{ dla } n=1, 2, 3, \ldots. $

Rozwiązanie

Wykażemy, że ciąg $(a_n)$ spełniający warunki zadania nie istnieje.

Przypuśćmy, że ciąg $(a_n)$ spełnia warunki zadania. Rozumowanie przeprowadzimy na dwa sposoby.

Sposób I

Z podanej równości wynika, że ciąg $(a_n)$ jest rosnący, a ponadto

$ (1)\qquad a_{n+2}(a_{n+1}-a_{n})=a_{n}a_{n+1}. $

Liczba $a_{n+1}-a_{n}$ jest podzielna przez największy wspólny dzielnik liczb $a_n$ i $a_{n+1}$ . Z równości (1) wynika zatem, że liczba $a_{n+2}$ jest dzielnikiem liczby

$ \frac {a_{n}a_{n+1}} {\mathrm{NWD}(a_{n}, a_{n+1})} = \mathrm{NWW}(a_{n}, a_{n+1}). $

Niech $k = \mathrm{NWW}(a_1,a_2)$ . Wykażemy indukcyjnie, że dla każdego $n \geq 1$ , liczba $a_n$ jest dzielnikiem liczby $k$ .

Dla $n =1$ i $n = 2$ jest to prawda na mocy określenia liczby $k$ .

Jeśli z kolei $a_n |k$ oraz $a_{n+1} |k$ dla pewnej liczby $n \geq 1$ , to liczba $k$ jest wspólną wielokrotnością liczb $a_n$ , $a_{n+1}$ , jest więc podzielna przez najmniejszą wspólną wielokrotność liczb $a_n$ , $a_{n+1}$ . Stąd, skoro $a_{n+2} |\mathrm{NWW}(a_n,a_{n+1})$ , uzyskujemy podzielność $a_{n+2} |k$ . Dowód indukcyjny jest zakończony.

Wcześniej stwierdziliśmy, że ciąg $(a_n)$ jest rosnący. Liczba dodatnia $k$ ma zatem nieskończenie wiele dzielników. Uzyskana sprzeczność dowodzi, że nie istnieje ciąg $(a_n)$ o żądanych własnościach.

Sposób II

Niech $x_n =1/a_n$ . Wówczas ciąg $(x_n)$ jest zbieżny do 0, a daną w treści zadania równość możemy przepisać w postaci $x_{n+2}=-x_{n+1}+x_{n}$ . Stosując metodę rozwiązywania rekurencji liniowych (zob. L Olimpiada Matematyczna, Sprawozdanie Komitetu Głównego, Warszawa 2000, Dodatek A, str. 103) uzyskujemy równość

$ x_{n}=a\cdot\left(\frac{-\sqrt{5}-1}{2}\right)^{n}+b\cdot\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{n}, $

gdzie $a$ , $b$ są ustalonymi liczbami rzeczywistymi zależnymi tylko od dwóch początkowych wartości $x_1$ i $x_2$ .

Wartość bezwzględna liczby $\frac{1}{2}(-\sqrt{5}-1)$ jest większa od 1, a wartość bezwzględna liczby $\frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)$ jest mniejsza od 1. Zatem ciąg $(x_n)$ jest zbieżny do 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a = 0. Stąd uzyskujemy