Trzy sfery, parami styczne zewnętrznie, są styczne do pewnej płaszczyzny w punktach 
, 
, 
. Znając długości odcinków 
, 
, 
, obliczyć promienie tych sfer.
Z warunków zadania wynika, że rozpatrywane sfery leżą po jednej stronie płaszczyzny, do której są styczne.
Oznaczmy przez 
, 
i 
promienie rozważanych sfer, styczne do danej płaszczyzny odpowiednio w punktach , i . Wówczas na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy (rys. 4)
![\[<br />
(1)\qquad a^2 =(r_B +r_C )^2 -(r_B -r_C)^2 =4r_Br_C .<br />
\]](/files/tex/76610cb77b6a7a68209f10f5e5cdd3aa2800cc3e.png) |
Analogicznie uzyskujemy 
oraz 
. Mnożąc stronami dwie ostatnie równości oraz wykorzystując równość (1) otrzymujemy
![\[<br />
b^{2}c^{2}=(4r_{B}r_{C})\cdot(4r_{A}^{2})=4a^{2}r_{A}^{2},<br />
\]](/files/tex/017ce03e1e281771c1c0c63f8b45383bf6cc7adc.png) |
skąd obliczamy 
. Analogicznie dostajemy równości
![\[<br />
r_{B}=\frac{ca}{2b}\ \text{oraz}\ r_{C}=\frac{ab}{2c}.<br />
\]](/files/tex/779e37e25ffd8bff4f8ac7ccf3b731c3c9d058e2.png) |