LVI OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

LVI OM, 2004-2005

Etap:

Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste $a$ , dla których ciąg $(x_n)$ określony wzorami

$ x_{0}=\sqrt{3},\ x_{n+1}= \frac{1+ax_{n}}{a-x_{n}}\ \textrm{dla}\ n=0,1,2,\ \ldots $

spełnia warunek $x_{n+8} = x_n$ dla $n =0, 1, 2, \ldots$ .

Rozwiązanie

Sposób I

Aby ciąg $(x_n)$ był poprawnie określony, musi być $x_n \neq a$ dla każdego $n\geq 0$ . Niech $\alpha \in (0;\pi)$ będzie taką liczbą, że $a = \mathrm{ctg} \alpha$ . Wykażemy indukcyjnie, że

$ (1)\qquad x_n = \mathrm{ctg}( \frac {1}{6} \pi -n\alpha )\ \textrm{dla } n =0,1,2,\ldots . $

Dla $n = 0$ równość (1) jest spełniona. Przyjmijmy, że zachodzi ona dla pewnego $n$ . Jeśli $\mathrm{ctg} x \neq \mathrm{ctg} y$ , to

$ \mathrm{ctg}(x-y)=\frac{1+\mathrm{ctg} x \cdot \mathrm{ctg} y}{\mathrm{ctg} x - \mathrm{ctg} y}. $

Warunek $x_n \neq a$ implikuje, że $\mathrm{ctg}( \frac {1}{6} \pi -n\alpha ) \neq \mathrm{ctg} \alpha$ Na mocy powyższego wzoru uzyskujemy

$ x_{n+1}=\frac{1+ax_{n}}{a-x_{n}}= \frac{1+(\mathrm{ctg} \alpha) \cdot (\mathrm{ctg} (\frac {1}{6} \pi -n\alpha))}{\mathrm{ctg} \alpha - \mathrm{ctg} (\frac {1}{6} \pi -n\alpha)} = \mathrm{ctg} (\frac {1}{6} \pi -(n+1)\alpha), $

co kończy dowód indukcyjny zależności (1). Funkcja $f(x) = \mathrm{ctg} x$ jest $\pi$ -okresowa. Korzystając z równości (1) wnioskujemy, że $x_{n+8} = x_n$ dla wszystkich $n \neq 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba całkowita $k$ , że $8 \alpha = k\pi$ . Stąd uzyskujemy $\alpha = \frac{1}{8} k \pi$ , a ponieważ liczba $\alpha$ należy do przedziału $(0;\pi)$ , więc $k$ jest jedną z liczb: $1,2,\ldots,7$ . Zatem równość $x_{n+8} = x_n$ jest prawdziwa dla $n =0,1,2,\ldots$ wtedy i tylko wtedy, gdy a jest jedną z liczb:

$ \mathrm{ctg}(\frac{1}{8}\pi),\ \mathrm{ctg}(\frac{1}{4}\pi),\ \mathrm{ctg}(\frac{3}{8}\pi),\ \mathrm{ctg}(\frac{1}{2}\pi),\ \mathrm{ctg}(\frac{5}{8}\pi),\ \mathrm{ctg}(\frac{3}{4}\pi),\ \mathrm{ctg}(\frac{7}{8}\pi),\ $

czyli odpowiednio: $\sqrt{2}+1, 1, \sqrt{2}-1, 0, - \sqrt{2}+1, -1, - \sqrt{2}-1$ . Bezpośrednio sprawdzamy, że dla powyższych siedmiu wartości $a$ , ciąg $(x_n)$ jest poprawnie określony, tzn. $x_n \neq a$ dla $n =0, 1,2\ldots,7$ .