LVI OM - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

LVI OM, 2004-2005

Etap:

Okrąg o środku $I$ jest wpisany w czworokąt wypukły $ABCD$ , przy czym punkt $I$ nie leży na prostej $AC$ . Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $E$ . Prosta przechodząca przez punkt $E$ oraz prostopadła do prostej $BD$ przecina proste $AI$ , $CI$ odpowiednio w punktach $P$ , $Q$ . Wykazać, że $PE = EQ$ .

Rozwiązanie

Niech $o_1$ będzie okręgiem o środku $P$ i stycznym do prostych $AD$ i $AB$ odpowiednio w punktach $S$ i $T$ . Analogicznie, niech $o_2$ będzie okręgiem o środku $Q$ i stycznym do prostych $CB$ i $CD$ odpowiednio w punktach $U$ i $W$ (rys. 5). Oznaczmy przez $o$ okrąg wpisany w czworokąt $ABCD$ . Bez straty ogólności przyjmijmy, że punkt $Q$ leży na odcinku $CI$ .

Korzystając z twierdzenia Menelausa dla trójkąta $PIQ$ uzyskujemy

$ \frac{PE}{EQ}=\frac{CI}{CQ}\cdot\frac{AP}{AI}=\frac{r}{r_{2}}\cdot\frac{r_{1}}{r}=\frac{r_{1}}{r_{2}}, $

gdzie $r$ , $r_1$ i $r_2$ są odpowiednio promieniami okręgów $o$ , $o_1$ i $o_2$ . Stąd

$ (1)\qquad \frac{PE}{r_{1}}=\frac{EQ}{r_{2}}=\lambda. $

Wprowadźmy następujące oznaczenia: $a=BT$ , $b=DS$ , $c=BU$ , $d=DW$ . Wówczas otrzymujemy zależności:

$ (2)\qquad \begin{array}{l} a-b=AB-AD=CB-CD=c-d,\\ a^{2}-b^{2}=PB^{2}-PD^{2}=BE^{2}-DE^{2}=QB^{2}-QD^{2}=c^{2}-d^{2}. \end{array} $

Zatem jeśli $a=b$ , to $AB =AD$ oraz $CB =CD$ ; w tym przypadku punkt $I$ leży na przekątnej $AC$ , co przeczy założeniom. Stąd mamy $a \neq b$ , a więc również $c \neq d$ . Z równości (2) otrzymujemy wówczas $a + b = c + d$ , co w połączeniu z zależnością $a-b = c-d$ daje $a = c$ i $b = d$ . Zatem

$ (3)\qquad PE^{2}-EQ^{2}=PD^{2}-QD^{2}=(r_{1}^{2}+b^{2})-(r_{2}^{2}+d^{2})=r_{1}^{2}-r_{2}^{2}. $

Równości (1) i (3) pociągają zależność $(\lambda^{2}-1)(r_{1}^{2}-r_{2}^{2})=0$ .

Przypuśćmy, że $\lambda = 1$ . Wówczas $EQ = r_2$ , a więc okrąg $o_2$ jest wpisany w trójkąt $BCD$ . Ponieważ w czworokąt $ABCD$ można wpisać okrąg, więc okrąg $\omega$ wpisany w trójkąt $ABD$ jest styczny do okręgu $o_2$ . Stąd wynika, że punkty $Q$ , $E$ oraz środek okręgu $\omega$ leżą na jednej prostej. To jednak nie jest możliwe, gdyż punkty te znajdują się odpowiednio na bokach $IC$ , $CA$ , $AI$ trójkąta $AIC$ i są różne od jego wierzchołków. Otrzymaliśmy sprzeczność, która dowodzi, że $\lambda\neq 1$ . Z uzyskanej wyżej równości wynika zatem, że $r_1 = r_2$ , czyli $PE = EQ$ .