LVI OM - II - Zadanie 2

Etap:

W czworokącie wypukłym $ABCD$ punkt $M$ jest środkiem przekątnej $AC$ . Wykazać, że jeżeli

$ \measuredangle BAD= \measuredangle BMC =\measuredangle CMD $

to na czworokącie $ABCD$ można opisać okrąg.

Rozwiązanie

Oznaczmy: $\alpha=\measuredangle BAD$ .

Jeśli $\alpha=90^{\circ}$ , to punkty $B$ , $M$ , $D$ leżą na jednej prostej. Wtedy punkty $A$ i $C$ są symetryczne względem prostej $BD$ . Stąd $\measuredangle BCD = \measuredangle BAD = 90^{\circ}$ , czyli na czworokącie $ABCD$ można opisać okrąg.

W dalszym ciągu przyjmijmy, że $\alpha \neq 90^{\circ}$ . Niech $E$ będzie punktem symetrycznym do punktu $D$ względem symetralnej odcinka $AC$ (rys. 1, 2). Wówczas $\measuredangle BMC= \measuredangle CMD =\measuredangle AME$ , skąd wynika, że punkty $B$ , $M$ , $E$ leżą na jednej prostej. Proste $AC$ i $ED$ są równoległe. Zatem gdy $\alpha<90^{\circ}$ (rys. 1), to

$ \measuredangle BAD=\measuredangle BMC = \measuredangle BED; $

natomiast jeśli $\alpha>90^{\circ}$ (rys. 2), to

$ \measuredangle BAD = \measuredangle BMC =180^{\circ}- \measuredangle BMA= 180^{\circ}-\measuredangle BED $

W obu przypadkach otrzymana równość oznacza, że punkty $A$ , $B$ , $D$ , $E$ leżą na jednym okręgu. Ponadto czworokąt o wierzchołkach $A$ , $C$ , $D$ , $E$ jest trapezem równoramiennym, a więc również punkty $A$ , $C$ , $D$ , $E$ leżą na jednym okręgu. Zatem punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ leżą na jednym okręgu, co należało wykazać.