LVI OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

LVI OM, 2004-2005

Etap:

Dany jest wielomian $W(x)=x^2+ax+b$ , o współczynnikach całkowitych, spełniający warunek:

Dla każdej liczby pierwszej $p$ istnieje taka liczba całkowita $k$ , że liczby $W(k)$ oraz $W(k + 1)$ są podzielne przez $p$ . Dowieść, że istnieje liczba całkowita $m$ , dla której

$ W (m)= W (m +1)=0. $

Rozwiązanie

Warunek $W(m) = W(m +1) = 0$ oznacza, że $W(x)=(x-m)(x-m+1)$ , czyli $W(x)=x^{2}-(2m+1)x+m^{2}+m$ . Należy zatem wykazać, że istnieje taka liczba całkowita $m$ , że

$ a=-2m-1\ \textrm{oraz}\ b=m^{2}+m. $

Ustalmy liczbę pierwszą $p$ . Wówczas dla pewnej liczby całkowitej $k$ liczby

$ A=W(k)=k^{2}+ak+b, $

$ B=W(k+1)=k^{2}+(a+2)k+(a+b+1). $

są podzielne przez $p$ . Przez $p$ dzielą się więc kolejno następujące liczby:

$ C=B-A=2k+(a+1), $

$ D=2A-kC=(a-1)k+2b, $

$ E=(a-1)C-2D=a^{2}-4b-1. $

Liczba $E$ jest wyznaczona przez współczynniki wielomianu $W$ i nie zależy od $k$ . Przeprowadzając to rozumowanie dla każdej liczby pierwszej $p$ stwierdzamy, że liczba $E$ jest podzielna przez każdą liczbę pierwszą $p$ i w konsekwencji $E = 0$ . Stąd wynika, że liczba $a$ jest nieparzysta, tzn. $a = -2m-1$ dla pewnej liczby całkowitej $m$ , oraz $b= \frac{1}{4}(a^{2}-1)=m^{2}+m$ .