LVI OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

LVI OM, 2004-2005

Etap:

Liczby $a$ , $b$ , $c$ należą do przedziału $\langle 0;1\rangle$ . Udowodnić, że

$ \frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}\leq 2. $

Rozwiązanie

Wykażemy, że dla dowolnych liczb $a$ , $b$ , $c$ należących do przedziału $\langle 0; 1\rangle$ zachodzi nierówność

$ (1) \qquad \frac{a}{bc+1}\leq\frac{2a}{a+b+c}. $

Istotnie: jeśli $a = 0$ , to powyższa nierówność jest spełniona. Dla $a>0$ zależność (1) jest równoważna nierówności $a + b + c \leq 2bc + 2$ , którą można zapisać jako

$ a \leq 1 + bc + (b- 1)(c-1). $

Ostatnia nierówność jest spełniona - wynika ona bezpośrednio z zależności $a \leq 1$ , $0 \leq bc$ , $0 \leq (b - 1)(c - 1)$ . To kończy dowód własności (1).

Analogicznie dowodzimy, że

$ (2) \qquad \frac{b}{ca+1}\leq\frac{2b}{a+b+c}\ \textrm{oraz}\ \frac{c}{ab+1}\leq\frac{2c}{a+b+c}. $

Dodając stronami nierówności (1) oraz (2) uzyskujemy tezę.