LVI OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

LVI OM, 2004-2005

Etap:

III

Wyznaczyć wszystkie trójki $(x,y,n)$ liczb całkowitych dodatnich spełniające równanie

$ (x-y)^n=xy. $

Rozwiązanie

Dla $n = 1$ podane równanie ma postać $(x + 1)(y - 1) = -1$ , więc nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich. Przyjmijmy zatem, że $n \geq 2$ .

Niech $z = x - y$ . Dane równanie przybiera postać $x^{2}-xz =z^{n}$ . Po przemnożeniu przez 4 i prostym przekształceniu uzyskujemy

$ (1) \qquad (2x-z)^{2}=z^{2}(1+4z^{n-2}). $

Stąd wynika, że czynnik $1+4z^{n-2}$ jest kwadratem liczby całkowitej. Ponieważ jest to liczba nieparzysta większa od 1, więc dla pewnej liczby całkowitej dodatniej $t$ mamy $1+4z^{n-2}=(2t+1)^{2}$ , czyli

$ z^{n-2}=t(t+1). $

Dla $n = 2$ uzyskujemy $1 = t(t + 1)$ , co nie może być spełnione, gdyż liczba $t(t + 1)$ jest parzysta dla każdej liczby całkowitej $t$ . Zatem jeśli $n = 2$ , to dane równanie nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich.

Dla $n = 3$ mamy $z = t(t+ 1)$ . Wstawiając to wyrażenie do równania (1) wyznaczamy niewiadomą $x$ . Po kilku przekształceniach otrzymujemy

$ x=t(t+1)^{2}\ \text{lub}\ x=-t^{2}(t+1). $

Ponieważ $t> 0$ , a $x$ jest liczbą dodatnią, to druga z wyznaczonych wartości $x$ odpada. Ponadto $y=x-z =t(t+1)^{2}-t(t+1)=t^{2}(t+1)$ . Znaleźliśmy w ten sposób następujące trójki:

$ (2) \qquad (x,y,n) =(t(t+1)^{2},\ t^{2}(t+1), 3),\ \textrm{gdzie}\ t =1,2,3, \ldots $

Bezpośrednio sprawdzamy, że są one rozwiązaniami danego równania.

Pozostał do rozpatrzenia przypadek $n \geq 4$ . Ponieważ liczby $t$ , $t + 1$ są względnie pierwsze, a ich iloczyn jest $(n-2)$ -gą potęgą liczby całkowitej dodatniej, to każda z tych liczb musi być $(n-2)$ -gą potęgą liczby całkowitej dodatniej. Jednak dla $n \geq 4$ nie istnieją dwie kolejne liczby całkowite dodatnie będące $(n-2)$ -gimi potęgami liczb całkowitych. Zatem jeśli $n \geq 4$ , to dane równanie nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich.

Reasumując: dane równanie ma rozwiązanie $(x,y)$ w liczbach całkowitych dodatnich tylko dla $n = 3$ . Wszystkie rozwiązania są dane wzorem (2).