LVI OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

LVI OM, 2004-2005

Etap:

III

Punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ leżą, w tej właśnie kolejności, na okręgu $o$ . Punkt $S$ leży wewnątrz okręgu $o$ i spełnia warunki

$ \measuredangle SAD = \measuredangle SCB \ \textrm{oraz}\ \measuredangle SDA = \measuredangle SBC. $

Prosta zawierająca dwusieczną kąta $ASB$ przecina okrąg $o$ w punktach $P$ i $Q$ . Dowieść, że $PS = QS$ .

Rozwiązanie

Przyjmijmy, że proste $AS$ , $BS$ , $CS$ przecinają okrąg $o$ po raz drugi odpowiednio w punktach $E$ , $F$ , $G$ (rys. 1). Z danych w zadaniu równości wynika podobieństwo trójkątów $ASD$ i $CSB$ , a stąd

$ \frac{AS}{CS}=\frac{DS}{BS} \ \textrm{oraz}\ \measuredangle BSC =\measuredangle DSA, $

więc i $\measuredangle ASC = \measuredangle DSB$ . Równości te dowodzą, że trójkąty $ASC$ i $DSB$ są podobne, skąd w szczególności dostajemy $\measuredangle ACS = \measuredangle DBS$ . Stąd wniosek, że łuki $GA$ i $FD$ okręgu $o$ są równe (pisząc „łuk $XY$ " mamy na myśli łuk biegnący wzdłuż okręgu $o$ od punktu $X$ do punktu $Y$ w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara). Analogicznie, z równości $\measuredangle SAD = \measuredangle SCB$ wnioskujemy, że łuki $GB$ i $ED$ są równe. Zatem także łuki $AB$ i $EF$ są równe.

Czworokąt $ABEF$ jest więc trapezem równoramiennym, a punkt $S$ jest punktem przecięcia jego przekątnych (rys. 2). Przyjmijmy, że punkt $P$ leży na tym łuku $AB$ okręgu $o$ , który nie zawiera punktów $C$ i $D$ . Z równości

$ \measuredangle PSA = \frac{1}{2}\measuredangle ASB =\frac{1}{2}(\measuredangle FAS+\measuredangle AFS)=\measuredangle FAS $

wynika, że prosta $PQ$ jest równoległa do prostych $BE$ i $AF$ . Stąd wniosek, że punkty $A$ , $P$ , $B$ są odpowiednio obrazami punktów $F$ , $Q$ , $E$ w symetrii względem symetralnej odcinków $AF$ i $BE$ . Zatem $PS = QS$ .