LVI OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

LVI OM, 2004-2005

Etap:

III

Dana jest liczba rzeczywista $c> -2$ . Dowieść, że jeżeli liczby $x_1, x_2,... ,x_n$ ( $n \geq 2$ ) są dodatnie oraz

$ \begin{array}{r} \sqrt{x_{1}^{2}+cx_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}+\sqrt{x_{2}^{2}+cx_{2}x_{3}+x_{3}^{2}}+\ldots+\sqrt{x_{n}^{2}+cx_{n}x_{1}+x_{1}^{2}}=\\ =\sqrt{c+2}(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}), \end{array} $

to $c =2$ lub $x_1 = x_2 = \ldots = x_n$ .

Rozwiązanie

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$ a_{i}=\sqrt{c+2}(x_{i}+x_{i+1})\ \textrm{oraz}\ b_{i}=2\sqrt{x_{i}^{2}+cx_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2}}\ \textrm{dla}\ i=1,2, \ldots, n, $

przyjmując $x_{n+1} = x_1$ . Liczby $a_i$ są dodatnie. Redukując wyrazy podobne otrzymujemy zależność $a_{i}^{2}-b_{i}^{2}=(c-2)(x_{i}-x_{i+1})^{2}$ . Stąd oraz z danej w treści zadania równości dostajemy