LVI OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

LVI OM, 2004-2005

Etap:

III

Udowodnić, że każdy wielokąt wypukły o polu 1 zawiera sześciokąt wypukły o polu nie mniejszym niż 3/4.

Rozwiązanie

Spośród wierzchołków danego wielokąta $\mathcal{W}$ wybieramy trzy $A$ , $B$ i $C$ będące wierzchołkami trójkąta o największym polu, równym $s$ . Niech $X$ będzie punktem wielokąta $\mathcal{W}$ , leżącym po przeciwnej stronie prostej $BC$ niż punkt $A$ i oddalonym najdalej od prostej $BC$ (rys. 4). Analogicznie definiujemy punkty $Y$ i $Z$ .

Wykażemy, że pole sześciokąta $AZBXCY$ jest nie mniejsze niż 3/4, co zakończy rozwiązanie zadania.

Przez punkty $A$ , $B$ i $C$ poprowadźmy proste równoległe odpowiednio do prostych $BC$ , $CA$ i $AB$ wyznaczające trójkąt o wierzchołkach $D$ , $E$ , $F$ (rys. 5). Z faktu, iż trójkąt $ABC$ ma największe pole spośród wszystkich trójkątów o wierzchołkach w wierzchołkach wielokąta $\mathcal{W}$ wynika, że wielokąt $\mathcal{W}$ jest zawarty w trójkącie $DEF$ .

Przez punkty $X$ , $Y$ , $Z$ prowadzimy proste równoległe odpowiednio do prostych $BC$ , $CA$ , $AB$ przecinające boki trójkąta $DEF$ w punktach $K$ , $L$ , $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ , jak na rysunku 5. Z określenia punktów $X$ , $Y$ , $Z$ wynika, że wielokąt $\mathcal{W}$ jest zawarty w sześciokącie o wierzchołkach $K$ , $L$ , $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ .

Oznaczmy przez $s$ pole trójkąta $ABC$ . Wówczas każdy z trójkątów $BCD$ , $CAE$ i $ABF$ ma pole równe $s$ . Niech ponadto $x$ , $y$ , $z$ oznaczają odpowiednio pola trójkątów $BCX$ , $CAY$ i $ABZ$ . Należy wykazać, że $x + y + z + s \geq 3/4$ .

Niech $J$ będzie takim punktem, że czworokąt $CBJL$ jest równoległobokiem. Wówczas trójkąty $CBD$ i $JKB$ są podobne. Oznaczając przez $[\mathcal{F}]$ pole figury $\mathcal{F}$ , mamy zależności