LV OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

LV OM, 2003-2004

Etap:

Dany jest wielokąt o bokach długości wymiernej, w którym wszystkie kąty wewnętrzne są równe $90^{\circ}$ lub $270^{\circ}$ . Z ustalonego wierzchołka wypuszczamy promień świetlny do wnętrza wielokąta w kierunku dwusiecznej kąta wewnętrznego przy tym wierzchołku. Promień odbija się zgodnie z zasadą: kąt padania jest równy kątowi odbicia. Udowodnić, że promień trafi w jeden z wierzchołków wielokąta.

Rozwiązanie

Ponieważ każdy kąt wewnętrzy rozpatrywanego wielokąta $\mathcal{W}$ wynosi $90^{\circ}$ lub $270^{\circ}$ , więc wszystkie boki tego wielokąta (po odpowiednim jego obrocie) są ustawione poziomo lub pionowo (rys. 1). Niech $p_1/q_1,p_2/q_2,\ldots,p_n/q_n$ będą długościami kolejnych boków wielokąta $\mathcal{W}$ , przy czym każda z liczb $p_1,p_2, \ldots ,p_n$ , $q_1,q_2,\ldots,q_n$ jest całkowita dodatnia.

Rozpatrzmy kwadratową kratę, w której każdy mały kwadracik ma bok długości $1/(q_1q_2\ldots q_n)$ . Wówczas wielokąt $\mathcal{W}$ można tak umieścić na tej kracie, by każdy jego bok był zawarty w pewnej prostej wyznaczającej kratę (rys. 1). Promień świetlny wypuszczony z wierzchołka wielokąta $\mathcal{W}$ zgodnie z podanymi zasadami porusza się wtedy wzdłuż przekątnych kwadratów kraty i odbija od boków wielokąta $\mathcal{W}$ w punktach kratowych.

Przypuśćmy, że promień świetlny nie trafił w żaden wierzchołek wielokąta $\mathcal{W}$ . Odbijał się on zatem od boków wielokąta dowolnie wiele razy. Stąd wynika, że promień trafił co najmniej trzykrotnie w pewien punkt $\mathcal{P}$ leżący na obwodzie wielokąta $\mathcal{W}$ . Zatem co najmniej dwukrotnie promień trafił w punkt $\mathcal{P}$ poruszając się z tego samego kierunku. To oznacza, że trajektoria promienia jest okresowa, co nie jest możliwe, gdyż promień rozpoczął swój bieg z wierzchołka wielokąta $\mathcal{W}$ .