LV OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

LV OM, 2003-2004

Etap:

Rozstrzygnąć, czy istnieje liczba pierwsza $p$ oraz liczby całkowite nieujemne $x$ , $y$ , $z$ spełniające równanie

$ (12x + 5)(12y + 7)= p^z. $

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że istnieją liczby $p$ , $x$ , $y$ , $z$ spełniające dane w zadaniu równanie. Skoro $p$ jest liczbą pierwszą, to dzielnikami liczby $p^z$ są tylko potęgi liczby $p$ . Zatem istnieją takie liczby całkowite nieujemne $a$ , $b$ , że $12x + 5 = p^a$ oraz $12y + 7 = p^b$ . Stąd widać, że liczba $p$ jest nieparzysta i niepodzielna przez 3, jest więc postaci $6k + 1$ lub $6k - 1$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą dodatnią. Wówczas

$ p^2 = 36k^2 \pm 12k +1 = 12(3k^2 \pm k) +1, $

skąd wynika, że

$ (*) \qquad p^{n}\equiv\left\{\begin{array}{ll} 1(\mathrm{mod}\ 12),&\textrm{gdy $n$ jest liczbą parzystą,}\\ p(\mathrm{mod}\ 12),&\textrm{gdy $n$ jest liczbą nieparzystą.} \end{array}\right. $

Z drugiej strony, $p^a \equiv 5 (\mathrm{mod}\ 12)$ oraz $p^b = 7 (\mathrm{mod}\ 12)$ . Ale na mocy zależności (*) obie te kongruencje nie mogą zachodzić jednocześnie. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że nie istnieją liczby spełniające podane warunki.