LV OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

LV OM, 2003-2004

Etap:

Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$ . Rozważamy wszystkie takie trójkąty równoboczne $XYZ$ , że punkty $A$ , $B$ , $C$ są odpowiednio punktami wewnętrznymi odcinków $YZ$ , $ZX$ , $XY$ . Dowieść, że środki ciężkości wszystkich rozważanych trójkątów $XYZ$ leżą na jednym okręgu.

Rozwiązanie

Jeśli trójkąt $ABC$ jest równoboczny, to środki ciężkości wszystkich rozważanych trójkątów $XYZ$ pokrywają się ze środkiem ciężkości trójkąta $ABC$ . Punkt ten leży oczywiście na każdym okręgu, który przezeń przechodzi.

Załóżmy więc, że trójkąt $ABC$ nie jest równoboczny. Wtedy bez straty ogólności możemy przyjąć, że $\measuredangle ACB> 60^{\circ}$ . Niech $P$ i $Q$ będą takimi punktami leżącymi wewnątrz kąta wypukłego $ACB$ , że

$ \measuredangle PBC = \measuredangle PCB = \measuredangle QAC = \measuredangle QCA = 30^{\circ} . $

Niech ponadto $R$ będzie takim punktem leżącym po tej samej stronie prostej $PQ$ , co punkt $C$ , że trójkąt $PQR$ jest równoboczny (rys. 2, 3). Wykażemy, że środki ciężkości wszystkich rozpatrywanych trójkątów $XYZ$ leżą na okręgu opisanym na trójkącie $PQR$ , co zakończy rozwiązanie zadania.

Z równości $\measuredangle BPC+ \measuredangle BXC = 120^{\circ} +60^{\circ} = 180^{\circ}$ wnioskujemy, że na czworokącie $BXCP$ można opisać okrąg. Stąd $\measuredangle PXB = \measuredangle PCB = 30^{\circ}$ co oznacza, że prosta $XP$ przechodzi przez środek ciężkości $S$ trójkąta $XYZ$ . Analogicznie dowodzimy, że prosta $YQ$ przechodzi przez $S$ . Pozostaje zatem wykazać, że punkt $S$ leży na okręgu opisanym na trójkącie $PQR$ .

Ponieważ $\measuredangle ACB > 60^{\circ}$ , więc możliwe są następujące dwa przypadki:

Punkt $S$ nie należy do odcinków $XP$ i $YQ$ (rys. 2). Wówczas

$ \measuredangle PSQ = \measuredangle XSY = 120^{\circ} = 180^{\circ} - \measuredangle PRQ, $

co oznacza, że punkt $S$ leży na okręgu opisanym na trójkącie $PQR$ .
Punkt $S$ leży na jednym z odcinków $XP$ lub $YQ$ . Bez straty ogólności przyjmijmy, że punkt $S$ należy do odcinka $XP$ (rys. 3). Wówczas

$ \measuredangle PSQ = \measuredangle PSY = 60^{\circ} = \measuredangle PRQ, $

co dowodzi, że punkty $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ leżą na jednym okręgu.