LV OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

LV OM, 2003-2004

Etap:

Niech $c$ będzie taką liczbą rzeczywistą, że wielomian

$ P(x) = x^5 - 5x^3 + 4x - c $

ma pięć różnych pierwiastków rzeczywistych $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ , $x_4$ , $x_5$ . Wyznaczyć, w zależności od $c$ , sumę wartości bezwzględnych współczynników wielomianu

$ Q(x)=(x-x_{1}^{2})(x-x_{2}^{2})(x-x_{3}^{2})(x-x_{4}^{2})(x-x_{5}^{2}). $

Rozwiązanie

Z równości

$ \begin{array}{rcl} Q(x^{2})&=&(x^{2}-x_{1}^{2})(x^{2}-x_{2}^{2})(x^{2}-x_{3}^{2})(x^{2}-x_{4}^{2})(x^{2}-x_{5}^{2})=\\ &=&(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})(x-x_{5})\\ &&\quad\cdot (x+x_{1})(x+x_{2})(x+x_{3})(x+x_{4})(x+x_{5})=\\ &=&P(x)\cdot(-P(-x))=(x^{5}-5x^{3}+4x-c)\cdot(x^{5}-5x^{3}+4x+c)=\\ &=&(x^{5}-5x^{3}+4x)^{2}-c^{2}=x^{10}-10x^{8}+33x^{6}-40x^{4}+16x^{2}-c^{2} \end{array} $

wnioskujemy, że

$ Q(x) = x^5 - 10x^4 + 33x^3 - 40x^2 + 16x - c^2 \ \textrm{dla wszystkich}\ x \geq 0 . $

Wyrażenia po obu stronach tej równości są wielomianami. Stąd wynika, że uzyskany wzór jest prawdziwy dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ . Zatem suma wartości bezwzględnych współczynników wielomianu $Q(x)$ wynosi:

$ 1 + 10 + 33 + 40 + 16 + c^2 = 100 + c^2. $