LV OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

LV OM, 2003-2004

Etap:

Znaleźć wszystkie takie rozwiązania równania $a^2+b^2=c^2$ w liczbach całkowitych dodatnich, że liczby $a$ i $c$ są pierwsze, a liczba $b$ jest iloczynem co najwyżej czterech liczb pierwszych.

Rozwiązanie

Odpowiedź: Istnieją trzy rozwiązania $(a,b,c): (3,4,5), (5,12,13), (11,60,61)$ . Niech $a$ , $b$ , $c$ będą liczbami spełniającymi warunki zadania. Wówczas

$<br /> a^2 = c^2 - b^2 = (c - b)(c + b),<br />$

skąd wobec założenia, że liczba $a$ jest pierwsza, otrzymujemy $c= b+ 1$ . Zatem $a^2 = 2b+ 1$ , skąd wynika, że liczba $a$ jest nieparzysta.

Niech $a = 2n+ 1$ . Wtedy

$<br /> b=\frac{1}{2}(a^{2}-1)=2n(n+1)\ \textrm{oraz}\ c=2n^{2}+2n+1.<br />$

Jeśli liczba $n$ daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1, to liczba $a$ jest podzielna przez 3. Zatem jest ona złożona, poza przypadkiem $n = 1$ , który daje rozwiązanie $(a,b, c) = (3,4,5)$ . Jeśli z kolei liczba $n$ daje przy dzieleniu przez 5 resztę 2, to liczba $a$ jest podzielna przez 5. Zatem jest ona złożona, poza przypadkiem, gdy $n = 2$ . Przypadek ten daje drugie rozwiązanie $(a,b,c) = (5,12,13)$ .

Jeśli natomiast liczba $n$ daje przy dzieleniu przez 5 resztę 1 lub 3, to liczba $c$ jest podzielna przez 5. Zatem jest ona złożona poza przypadkiem $n = 1$ , który już rozpatrzyliśmy.

Pozostał jeszcze do rozpatrzenia przypadek, gdy liczba $n$ daje przy dzieleniu przez 3 resztę 0 lub 2, a przy dzieleniu przez 5 resztę 0 lub 4. Wówczas liczba $b$ jest podzielna przez $2 \cdot 6 \cdot 5 = 60$ . Z drugiej strony, liczba $b$ jest iloczynem co najwyżej czterech liczb pierwszych, skąd wynika, że $b= 60$ . Przypadek ten prowadzi do trzeciego rozwiązania: $(a, b, c) = (11, 60, 61)$ .