LV OM - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

LV OM, 2003-2004

Etap:

Punkt $P$ leży wewnątrz czworościanu $ABCD$ . Dowieść, że

$ \measuredangle APB + \measuredangle BPC + \measuredangle CPD + \measuredangle DPA> 360^{\circ} . $

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $K$ punkt przecięcia płaszczyzny $CDP$ z krawędzią $AB$ oraz przez $L$ punkt przecięcia płaszczyzny $ABP$ z krawędzią $CD$ (rys. 4).

Analogicznie, niech $M$ będzie punktem przecięcia płaszczyzny $ADP$ i krawędzi $BC$ oraz niech $N$ oznacza punkt wspólny płaszczyzny $BCP$ i krawędzi $AD$ .

Punkty $K$ , $P$ i $L$ należą do części wspólnej płaszczyzn $ABP$ i $CDP$ , leżą więc na jednej prostej. Analogicznie, punkty $M$ , $P$ i $N$ leżą na jednej prostej. Stąd wynika, że punkty $K$ , $L$ , $M$ , $N$ i $P$ leżą w jednej płaszczyźnie. Zatem

$ \begin{array}{l} \measuredangle APB + \measuredangle BPC + \measuredangle CPD + \measuredangle DPA =\\ \qquad\qquad= \measuredangle KPB + \measuredangle BPM + \measuredangle MPC + \measuredangle CPL\\ \qquad\qquad\quad+ \measuredangle LPD + \measuredangle DPN + \measuredangle NPA + \measuredangle APK >\\ \qquad\qquad> \measuredangle KPM + \measuredangle MPL + \measuredangle LPN + \measuredangle NPK = 360^{\circ}, \end{array} $

co kończy rozwiązanie zadania.