LV OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

LV OM, 2003-2004

Etap:

Dane są wielomiany $W_1(x),W_2(x), W_3(x),\ldots, W_n(x)$ stopnia co najmniej 1, o współczynnikach całkowitych. Wykazać, że dla pewnej liczby całkowitej $a$ wszystkie liczby

$<br /> W_1(a), W_2(a), W_3(a),\ldots, W_n(a)<br />$

są złożone.

Rozwiązanie

Dane wielomiany mają stopień co najmniej 1, więc istnieje taka liczba naturalna $x_0$ , że dla $i = 1,2,\ldots,n$ liczby $c_i = |W_i(x_0)|$ są większe od 1 oraz $|W_i(x)| >c_i$ dla wszystkich $x>x_0$ .

Niech $a = x_o + c_1 c_2 \ldots c_n$ . Wykażemy, że liczby

$<br /> W_1(a),W_2(a),W_3(a),\ldots,W_n(a)<br />$

są złożone, co zakończy rozwiązanie zadania.

Z zależności $a \equiv x_0 (\mathrm{mod}\ c_i)$ wynika, że $W_i(a) \equiv W_i(x_0) (\mathrm{mod}\ c_i)$ . Ponieważ $c_i = |W_i(x_0)|$ , więc liczba $W_i(a)$ jest podzielna przez $c_i$ . Ponadto $a>x_0$ , co daje $|W_i(a)| > c_i$ . Zatem dla $i = 1, 2, \ldots , n$ liczba $W_i(a)$ jest złożona.