LV OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

LV OM, 2003-2004

Etap:

Dany jest wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków. Każdy bok wielokąta ma długość 2 lub 3, przy czym liczba boków każdej z tych długości jest parzysta. Dowieść, że istnieją dwa wierzchołki wielokąta, które dzielą jego obwód na dwie części jednakowej długości.

Rozwiązanie

Niech liczba boków wielokąta będzie równa $2n$ . Oznaczmy wierzchołki wielokąta kolejno $A_1, A_2, A_3, \ldots A_{2n}$ . Dla $i = 1, 2, \ldots 2n$ niech

$ \begin{array}{l} f(i) = A_i A_{i+1} + A_{i+1} A_{i+2} + A_{i+2} A_{i+3} + \ldots + A_{i+n-1}A_{i+n} +\\ \qquad - A_{i+n}A_{i+n+1} - A_{i+n+1}A_{i+n+2} - A_{i+n+2}A_{i+n+3} - \ldots - A_{i+2n-1}A_i , \end{array} $

gdzie $A_{k+2n} = A_k$ dla $k = 1, 2, \ldots, 2n-1$ . Innymi słowy, $f(i)$ jest różnicą długości części, na które dzielą obwód wielokąta punkty $A_i$ oraz $A_{i+n}$ .

Wówczas dla $i = 1, 2, \ldots , 2n$ liczba $f(i)$ jest całkowita parzysta oraz

$ \begin{array}{rcl} |f(i + 1) - f(i)| &=& |2 \cdot A_{i+n}A_{i+n+1} - 2 \cdot A_iA_{i+1}| =\\ &=& 2 \cdot |A_{i+n}A_{i+n+1} - A_i A_{i+1}| \leq 2 . \end{array} $

Ponadto $f(i) = -f(i + n)$ . Stąd wynika, że ciąg liczb

$ f(1), f(2),\ldots, f(n + 1) = -f(1) $

składa się z liczb parzystych, a jego kolejne wyrazy różnią się o nie więcej niż 2. Zatem istnieje takie $i$ , że $f(i) = 0$ , a to właśnie należało udowodnić.