LV OM - I - Zadanie 11

Punkt jest środkiem okręgu opisanego na trapezie równoramiennym o podstawach i . Punkty , , , leżą odpowiednio na bokach , , , , przy czym czworokąt KLMN jest rombem. Udowodnić, że punkt leży na prostej .

Rozwiązanie

Oznaczmy przez , , odpowiednio środki odcinków , , (rys. 5). Wówczas punkty , i leżą na jednej prostej - równoległej do podstaw trapezu . Przez punkt poprowadźmy prostą równoległą do podstaw trapezu , przecinającą odcinek w punkcie .

Ponieważ punkt jest środkiem przekątnej rombu , więc jest on również środkiem drugiej przekątnej tego rombu, czyli odcinka . Zatem z równoległości prostych i wnioskujemy, że . Punkt jest środkiem odcinka , więc . Ta własność, równość oraz fakt, iż punkt leży na symetralnej odcinków , i dają

Stąd wynika, że punkt leży symetralnej odcinka , czyli na prostej .