LV OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

LV OM, 2003-2004

Etap:

Dana jest liczba całkowita $n \geq 5$ . Wyznaczyć liczbę rozwiązań w liczbach rzeczywistych $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ układu równań

$ x_{i-2}^{3}+x_{i-1}^{3}+x_{i}^{3}=x_{i}^{4}+x_{i+1}^{3}+x_{i+2}^{2}\ \textrm{dla}\ i=1,2,3, \ldots, n, $

gdzie $x_{-1}=x_{n-1},$ $x_{0}=x_{n},$ $x_{1}=x_{n+1},$ $x_{2}=x_{n+2}$ .

Rozwiązanie

Dodając równania stronami otrzymujemy

$ 3\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{3}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{4}+\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{3}+\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2},\ \textrm{czyli}\ \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}(x_{i}-1)^{2}=0. $

Zatem liczby $x_1,x_2,\ldots ,x_n$ przyjmują wartości 0 lub 1. Zadanie sprowadza się zatem do wyznaczenia liczby rozwiązań układu równań

$ \left\{\begin{array}{c} x_1+x_2=x_4+x_5\\ x_2+x_3=x_5+x_6\\ x_3+x_4=x_6+x_7\\ \vdots\\ x_{n-2}+x_{n-1}=x_1+x_2\\ x_{n-1}+x_n=x_2+x_3\\ x_n+x_1=x_3+x_4\\ \end{array}\right. $

w liczbach należących do zbioru $\{0,1\}$ .

Zauważmy, że układ równań (1) jest spełniony, gdy $x_i = x_2 =\dots = x_n = 1$ lub gdy $x_1 = x_2 = \ldots = x_n =0$ .

Załóżmy, że liczba $n$ nie jest podzielna przez 3. Wówczas uzyskujemy

$ x_1 + x_2 = x_4 + x_5 = x_7 + x_8 = \ldots = x_n + x_1, $

skąd $x_n=x_2$ . Analogicznie dowodzimy, że $x_i=x_{i+2}$ dla $i = 1,2,\ldots,n-1$ . Zatem jeżeli $n$ jest liczbą nieparzystą i niepodzielną przez 3, to jedynymi rozwiązaniami $(x_1 , x_2 , \ldots , xn )$ układu (1) są $(0,0,0,\ldots,0)$ i $(1,1,1,\ldots, 1)$ . Natomiast dla liczb parzystych $n$ , niepodzielnych przez 3, otrzymujemy dwa dodatkowe rozwiązania $(x_1,x_2,\ldots,xn)$ , a mianowicie

$ (0,1,0,1,\ldots, 0,1)\ \textrm{oraz}\ (1,0,1,0,..., 1,0). $

Załóżmy teraz, że liczba $n$ jest podzielna przez 3. Wówczas układ równań (1) ma co najmniej 8 rozwiązań: niewiadome mogą się powtarzać okresowo z okresem 3.

Zbadajmy istnienie rozwiązań $(x_1,x_2,x_3,\ldots ,x_n)$ , które nie są okresowe z okresem 3. Bez szkody dla ogólności przyjmijmy, że $x_1 = x_4$ . Wówczas równość $x_1 + x_2 = x_4+x_5$ jest możliwa tylko wtedy, gdy $x_1 + x_2 = 1$ . Stąd $x_1 = x_2$ oraz $x_2 = x_5$ .

Powtarzając rozumowanie stwierdzamy, że $x_2 = x_3$ oraz $x_3 = x_6$ , skąd dla dowolnego $i$ mamy $x_i = x_{i+1}$ . Zatem niewiadome muszą być na przemian równe 0 i 1, co jest możliwe tylko dla $n$ parzystego.