LV OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

LV OM, 2003-2004

Etap:

Liczby dodatnie $a$ , $b$ , $c$ , $d$ spełniają układ równań

$ \left\{ \begin{array}{l} a^3 + b^3 + c^3 = 3d^3\\ b^4 + c^4 + d^4 = 3a^4\\ c^5 + d^5 + a^5 = 3b^5. \end{array} \right. $

Udowodnić, że $a = b = c = d$ .

Rozwiązanie

Niech $\langle p,q\rangle$ będzie najmniejszym przedziałem zawierającym liczby $a$ , $b$ , $c$ , $d$ . Wówczas co najmniej jedna z liczb $d$ , $a$ , $b$ pokrywa się z końcem (lewym lub prawym) przedziału $\langle p,q\rangle$ .

Jeśli $d=p$ , to na mocy pierwszej równości mamy $3d^3 = a^3 + b^3 + c^3 \geq 3d^3$ . Stąd wynika, że każda z liczb $a$ , $b$ , $c$ musi być równa $d$ , czyli $a = b = c = d$ . Jeśli natomiast $d = q$ , to otrzymujemy $3d^3 = a^3 + b^3 + c^3 \leq 3d^3$ , co podobnie jak wyżej daje $a = b = c = d$ .

Analogicznie, korzystając z drugiego lub trzeciego równania dowodzimy, że $a=b=c=d$ , gdy któraś z liczb $a$ , $b$ jest równa $p$ lub $q$ . To kończy rozwiązanie zadania.