LV OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

LV OM, 2003-2004

Etap:

W sześciokącie wypukłym $ABCDEF$ wszystkie boki są równej długości oraz

$<br /> \measuredangle A + \measuredangle C + \measuredangle E = \measuredangle B + \measuredangle D + \measuredangle F.<br />$

Dowieść, że przekątne $AD$ , $BE$ i $CF$ przecinają się w jednym punkcie.

Rozwiązanie

Z danej w treści zadania równości kątów wynika, że $\measuredangle B + \measuredangle D + \measuredangle F = 360^\circ$ . Długości wszystkich boków danego sześciokąta są równe, więc z trójkątów $ABC$ , $CDE$ oraz $EFA$ można złożyć trójkąt $PCE$ przystający do trójkąta $ACE$ (rys. 1). Punkt $D$ jest wówczas środkiem okręgu opisanego na trójkącie $PCE$ . Niech $O$ będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ACE$ . Trójkąty $ACE$ i $PCE$ są przystające, więc promienie okręgów opisanych na tych trójkątach są równe.

Stąd wynika, że czworokąty $AOEF$ i $COED$ są rombami, a więc odcinki $AF$ , $OE$ i $CD$ są równe i równoległe. Zatem czworokąt $ACDF$ jest równoległobokiem, co oznacza, że środki odcinków $AD$ i $CF$ pokrywają się. Analogicznie, środki odcinków $AD$ i $BE$ pokrywają się. Stąd wniosek, że proste $AD$ , $BE$ i $CF$ mają punkt wspólny, będący środkiem każdej z przekątnych $AD$ , $BE$ i $CF$ .