LV OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

LV OM, 2003-2004

Etap:

Wyznaczyć liczbę ciągów nieskończonych $a_1,a_2,a_3,\dots$ o wyrazach równych $+1$ i $-1$ , spełniających równanie

$ a_{mn} = a_ma_n \ \textrm{dla}\ m,n = 1, 2,3,\ldots $

oraz warunek: w każdej trójce kolejnych wyrazów $(a_n, a_{n+1}, a_{n+2})$ występuje zarówno $+1$ , jak i $-1$ .

Rozwiązanie

Niech $(a_n)$ będzie takim ciągiem. Rozpoczniemy od wykazania, że

$ (1) \qquad a_{3k+1} \neq a_{3k+2}\ \textrm{dla}\ k = 1,2,3,\ldots. $

Przypuśćmy, że $a_{3k+1} = a_{3k+2} = a$ . Wówczas musi być $a_{3k} = a_{3k+3} = b$ oraz $b \neq a$ . Mnożąc powyższe równości przez $a_2$ uzyskujemy $a_{6k+2} = a_{6k+4} = c$ oraz $a_{6k} = a_{6k+6} = d$ , przy czym $c \neq d$ . W trójce $(a_{6k+2},a_{6k+3},a_{6k+4})$ występuje +1 oraz -1, skąd wynika, że $a_{6k+3} = d$ . Zatem $a_{6k} = a_{6k+3} = a_{6k+6}$ . Dzieląc równości te stronami przez $a_3$ otrzymujemy $a_{2k} = a_{2k+1} = a_{2k+2}$ . Sprzeczność.

Następnie udowodnimy przez indukcję, że

$ (2) \qquad a_{3k+1} = 1,\ a_{3k+2} = -1 \ \textrm{dla}\ k = 0,1,2,3,\ldots. $

Oczywiście $a_1 = a_1^2 = 1$ ; a z własności (1) wynika, że $a_{50} \neq a_{49} = a^2_7 = 1$ , czyli $a_{50} = -1$ ; ale $a_{50} = a_{2}a_{5}^2 = a_2$ , więc $a_2 = -1$ ; równości (2) zachodzą dla $k = 0$ .

Ustalmy $k \geq 1$ i przyjmijmy, że $a_{3i+1} = 1$ , $a_{3i+2} = -1$ dla $i < k$ . Zapiszmy liczbę $k$ w postaci $2j$ lub $2j+1$ . Jeśli $k = 2j$ , to $3k + 2 = 2(3j + 1)$ , i w konsekwencji $a_{3k+2} = a_2a_{3j+1} = -1$ ; jeśli zaś $k = 2j + 1$ , to $3k + 1 = 2(3j + 2)$ , więc $a_{3k+1} = a_2a_{3j+2} = 1$ . W obu przypadkach została wykazana jedna z równości (2); druga jest wtedy wnioskiem z zależności (1). To kończy indukcyjny dowód tezy (2).

Niech $a_3 = c$ . Każda liczba naturalna $n$ ma jednoznaczne przedstawienie w postaci $n = 3^rm$ , gdzie $r > 0$ , a $m$ nie dzieli się przez 3. Z warunku multyplikatywności wynika, że $a_n = a_3^r a_m = c^ra_m$ , i w myśl związków (2):

$ (3) \qquad a_n=\left\{ \begin{array}{l} c^r\ \textrm{dla}\ n = 3^r(3k + 1),\\ -c^r\ \textrm{dla}\ n = 3^r(3k + 2). \end{array}\right. $

Zatem ciąg $(a_n)$ jest wyznaczony przez wartość $c= a_3$ , która może być równa 1 lub -1. Na odwrót, zarówno dla $c= 1$ , jak i dla $c= -1$ , wzór (3) określa ciąg $(a_n)$ , spełniający zadane warunki. Są więc dwa takie ciągi.