LV OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

LV OM, 2003-2004

Etap:

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite dodatnie $n$ , mające dokładnie $\sqrt{n}$ dzielników dodatnich.

Rozwiązanie

Liczba $n = 1$ spełnia warunki zadania. Załóżmy więc w dalszej części rozwiązania, że $n >1$ .

Z warunków zadania wynika, że $n = k^2$ dla pewnej liczby całkowitej dodatniej $k$ . Liczba dzielników dodatnich liczby $n$ , mniejszych od $k$ , jest równa liczbie jej dzielników większych od $k$ . Istotnie: każdemu dzielnikowi $d < k$ liczby $n$ odpowiada dzielnik $n/d$ liczby $n$ , który jest większy od $k$ . Dodatkowo sama liczba $k$ jest dzielnikiem liczby $n$ , skąd wynika, że $n$ ma nieparzystą liczbę dzielników. Zatem $k$ , a więc również $n$ , jest liczbą nieparzystą.

Zadanie sprowadza się zatem do wyznaczenia takich liczb nieparzystych $n = k^2$ $(n> 1)$ , których liczba dzielników mniejszych od $k$ jest równa $\frac{1}{2} (k-1)$ .

Ponieważ $k^2$ jest liczbą nieparzystą, więc żadna liczba parzysta nie jest dzielnikiem liczby $k^2$ . Aby więc liczba dzielników mniejszych od $k$ liczby $k^2$ była równa $\frac{1}{2} (k-1)$ , każda liczba nieparzysta mniejsza od $k$ musi być dzielnikiem liczby $k^2$ . W szczególności $k^2$ ma się dzielić przez $k-2$ . Ponieważ $k_2 = (k-2)(k+2)+4$ , więc liczba $k-2$ jest nieparzystym dzielnikiem liczby 4. To oznacza, że $k - 2 = 1$ , czyli $k = 3$ .

Bezpośrednio sprawdzamy, że liczba $n = 3^2 = 9$ spełnia warunki zadania. Zatem szukanymi liczbami są $n = 1$ i $n = 9$ .