LV OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

LV OM, 2003-2004

Etap:

Punkty $D$ i $E$ leżą odpowiednio na bokach $BC$ i $CA$ trójkąta $ABC$ , przy czym $BD = AE$ . Odcinki $AD$ i $BE$ przecinają się w punkcie $P$ . Dwusieczna kąta $ACB$ przecina odcinki $AD$ i $BE$ odpowiednio w punktach $Q$ i $R$ . Wykazać, że

$<br /> \frac{PQ}{AD} = \frac{PR}{BE}.<br />$

Rozwiązanie

Niech $\ell$ będzie dowolną prostą prostopadłą do dwusiecznej kąta $ACB$ (rys. 2). Oznaczmy przez $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D$ ', $E'$ , $P'$ odpowiednio rzuty prostokątne punktów $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $P$ na prostą $\ell$ .

Proste $AC$ i $BC$ tworzą równe kąty z prostą $\ell$ , zatem na mocy równości $AE = BD$ mamy $A'E' = B'D'$ . Wobec tego $A'D' = B'E'$ . Stąd korzystając z twierdzenia Talesa uzyskujemy dowodzoną równość:

$<br /> \frac{PQ}{AD} =\frac{C'P'}{A'D'} =\frac{C' P'}{B'E'} = \frac{PR}{BE}.<br />$