LV OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

LV OM, 2003-2004

Etap:

III

Punkt $D$ leży na boku $AB$ trójkąta $ABC$ . Okręgi styczne do prostych $AC$ i $BC$ odpowiednio w punktach $A$ i $B$ przechodzą przez punkt $D$ i przecinają się po raz drugi w punkcie $E$ . Niech $F$ będzie punktem symetrycznym do punktu $C$ względem symetralnej odcinka $AB$ . Wykazać, że punkty $D$ , $E$ i $F$ leżą na jednej prostej.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że punkt $E$ leży wewnątrz trójkąta $ABC$ . Wówczas

$<br /> \measuredangle AED = 180^\circ - \measuredangle BAC \ \textrm{oraz} \ \measuredangle BED = 180^\circ -\measuredangle ABC.<br />$

Dodając równości te stronami mamy $180^\circ > \measuredangle AEB = 180^\circ + \measuredangle ACB > 180^\circ$ . Otrzymana sprzeczność dowodzi, że punkty $C$ i $E$ leżą po przeciwnych stronach prostej $AB$ (rys. 1).

Z równości $\measuredangle AEB = \measuredangle AED+\measuredangle DEB = \measuredangle BAC+\measuredangle ABC = 180^\circ - \measuredangle ACB$ wynika zatem, że punkty $A$ , $E$ , $B$ , $C$ leżą, w tej właśnie kolejności, na jednym okręgu $o$ . Stąd wniosek, że punkt $F$ leży również na okręgu $o$ , czyli

$<br /> \measuredangle FEB = \measuredangle FAB = \measuredangle CBD = \measuredangle BED.<br />$

Równość ta oznacza, że punkty $D$ , $E$ i $F$ leżą na jednej prostej.