LV OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

LV OM, 2003-2004

Etap:

III

Niech $W$ będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych, przyjmującym dla pewnych dwóch różnych liczb całkowitych wartości względnie pierwsze. Dowieść, że istnieje nieskończony zbiór liczb całkowitych, dla których wielomian $W$ przyjmuje wartości parami względnie pierwsze.

Rozwiązanie

Ciąg różnych liczb całkowitych $x_0, x_1, x_2, \ldots$ taki, że wartości $W(x_i)$ są parami względnie pierwsze, zbudujemy indukcyjnie. Dwa początkowe wyrazy $x_0 = a, x_1 = b$ to liczby, których istnienie jest dane w założeniach.

Przyjmijmy, że zostały już określone różne liczby $x_0, x_1, \ldots, x_n$ dla których wartości $y_i = W(x_i)$ są parami względnie pierwsze. Liczba $y_0$ jest względnie pierwsza z iloczynem $y_1 y_2 \ldots y_n$ ; istnieją zatem takie liczby całkowite $k$ , $m$ , że $ky_0 + my_1y_2 \ldots y_n = 1$ . Określamy kolejny wyraz ciągu:

$ x_{n+1} = b + (a - b)ky_0 + zy_0 y_1 \ldots y_n, $

gdzie $z$ jest liczbą naturalną tak dużą, żeby liczba $x_{n+1}$ była różna od liczb $x_0,x_1,\ldots ,x_n$ . Oczywiście

$x_{n+1} \equiv b\ (\mathrm{mod}\ y_0); $

a z przekształcenia $x_{n+1} = b + (a - b)(1 - my_1 y_2 \ldots y_n)+zy_0 y_1 \ldots y_n$ widać, że

$ x_{n+1} \equiv a\ (\textrm{mod}\ y_1 y_2 \ldots y_n). $

Stosując do obu stron każdej z tych dwóch kongruencji wielomian $W$ (co jest dozwolone, skoro kongruencje o wspólnym module można dodawać i mnożyć), dostajemy związki

$ W (x_{n+1}) \equiv W (b) \ (\mathrm{mod}\ y_0), \quad W (x_{n+1}) \equiv W (a) \ (\mathrm{mod}\ y_1y_2 \ldots y_n). $

To znaczy, że dla pewnych liczb całkowitych $s$ , $t$ zachodzą równości

$ W (x_{n+1}) = W (b) + sy_0,\quad W (x_{n+1}) = W (a) + ty_1y_2 \ldots y_n. $

A ponieważ wartość $W(b) = y_1$ jest względnie pierwsza z $y_0$ , zaś wartość $W (a) = y_0$ jest względnie pierwsza z iloczynem $y_1y_2 \ldots y_n$ , zatem z uzyskanych równości wynika, że wartość $W(x_{n+1})= y_{n+1}$ jest względnie pierwsza zarówno z $y_0$ , jak i z $y_1 y_2 \ldots y_n$ .

Kontynuując to postępowanie otrzymujemy nieskończony ciąg $(x_i)$ dający wartości $y_i = W(x_i)$ parami względnie pierwsze.