LV OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

LV OM, 2003-2004

Etap:

III

Udowodnić, że jeżeli $a$ , $b$ , $c$ są liczbami rzeczywistymi, to

$ \begin{array}{l} \sqrt{2(a^{2}+b^{2})}+\sqrt{2(b^{2}+c^{2})}+\sqrt{2(c^{2}+a^{2})}\geq \\ \qquad \qquad \qquad \geq\sqrt{3(a+b)^{2}+3(b+c)^{2}+3(c+a)^{2}}. \end{array} $

Rozwiązanie

Podnosząc zadaną nierówność stronami do kwadratu, dostajemy do udowodnienia nierówność równoważną, której lewa strona jest równa

$ 4(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4\sqrt{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})}+4\sqrt{(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})}+4\sqrt{(c^{2}+a^{2})(a^{2}+b^{2})}, $

natomiast prawa wynosi $6(a^2 + b^2 + c^2) + 6(ab+bc+ca)$ . Po redukcji wyrazów podobnych i podzieleniu stronami przez 2 pozostaje do wykazania, że

$ \begin{array}{l} 2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})}+2\sqrt{(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})}+2\sqrt{(c^{2}+a^{2})(a^{2}+b^{2})}\geq\\ \qquad\qquad\qquad\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+3(ab+bc+ca). \end{array} $

Na mocy nierówności $\sqrt{2x^2 + 2y^2} \geq |x + y|$ , prawdziwej dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ , $y$ (sprawdzenie przez podniesienie do kwadratu), dostajemy