LV OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

LV OM, 2003-2004

Etap:

III

Wyznaczyć największą liczbę prostych w przestrzeni, przechodzących przez ustalony punkt i takich, że każde dwie przecinają się pod jednakowym kątem.

Rozwiązanie

Niech $\ell_1,\ldots,\ell_n$ będą prostymi, o jakich mowa, przechodzącymi przez wspólny punkt $O$ . Para przecinających się prostych wyznacza na zawierającej je płaszczyźnie cztery kąty: dwa kąty wierzchołkowe o mierze $\alpha \leq 90^\circ$ i pozostałe dwa kąty o mierze $180^\circ - a$ . Zgodnie z założeniem, wartość $a$ jest dla każdej pary $\ell_i, \ell_j$ taka sama.

Weźmy pod uwagę sferę $S$ o środku $O$ i dowolnym promieniu, i oznaczmy przez $A_i$ , $B_i$ punkty przecięcia prostej $\ell_i$ z tą sferą. Każdy z odcinków $A_iA_j$ , $A_iB_j$ , $B_iB_j$ (dla $i \neq j$ ) jest cięciwą sfery $S$ , wyznaczoną przez kąt środkowy o mierze $\alpha$ lub $180^\circ - \alpha$ . Zatem te odcinki mają co najwyżej dwie różne długości $a$ i $b$ .

Ustalmy oznaczenia tak, by $\measuredangle A_iOA_n = \alpha$ dla $i = 1,\ldots,n-1$ . Wówczas punkty $A_1, \ldots, A_{n-1}$ leżą na jednym okręgu (położonym w płaszczyźnie prostopadłej do prostej $\ell_n$ ). Niech $A_1C$ będzie średnicą tego okręgu. Każdy z punktów $A_2,\ldots,A_{n-1}$ leży w odległości $a$ lub $b$ od punktu $A_1$ ; wobec tego na każdym z dwóch półokręgów o końcach $A_1$ i $C$ leżą co najwyżej dwa punkty ze zbioru $\{A_2,\ldots ,A_{n-1}\}$ . Stąd wniosek, że jest to zbiór co najwyżej czteroelementowy; a to znaczy, że $n \leq 6$ .

Z drugiej strony, jeśli $n = 6$ , to możemy umieścić punkty $A_1,A_2,\ldots,A_5$ w wierzchołkach pięciokąta foremnego, zaś płaszczyznę tego pięciokąta umieścić w takiej odległości od punktu $A_6$ , aby te sześć punktów, wraz z antypodycznymi do nich punktami $B_1,\ldots,B_6$ , były wierzchołkami dwudziestościanu foremnego. Odcinki $A_iB_i$ (średnice sfery $S$ ) łączą przeciwległe wierzchołki tego dwudziestościanu i każde dwa z nich tworzą jednakowy kąt. Zatem $n = 6$ jest największą możliwą liczbą prostych $\ell_i$ .