LIV OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

LIV OM, 2002-2003

Etap:

Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych dodatnich $x$ , $y$ spełniających równanie

$ (x + y)^2 - 2(xy)^2 = 1. $

Rozwiązanie

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x,y \geq 2$ mamy

$ (1) \qquad xy = x \cdot \frac{y}{2} + y \cdot \frac{x}{2} \geq x + y. $

Zatem dla liczb rzeczywistych $x,y \geq 2$ prawdziwe są nierówności

$ 2(xy)^2 + 1 > (xy)^2 \geq (x + y)^2 , $

co oznacza, że dane równanie nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych (a nawet rzeczywistych) $x,y \geq 2$ .

Wobec tego, jeśli para $(x,y)$ liczb całkowitych dodatnich spełnia dane w treści zadania równanie, to jedna z liczb $x$ , $y$ musi być równa 1. Przyjmijmy ze względu na symetrię, że tą liczbą jest $x$ . Dane równanie przyjmuje wówczas postać $(y + 1)^2 - 2y^2 = 1$ . Po uproszczeniu dostajemy $y^2 - 2y = 0$ , skąd $y = 2$ .

Równanie ma więc dwa rozwiązania: $x = 1$ , $y = 2$ oraz $x = 2$ , $y = 1$ .

Uwaga: Kluczem do rozwiązania zadania jest nierówność $xy \geq x + y$ prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych $x,y \geq 2$ . Jej krótki dowód został przedstawiony w powyższym rozwiązaniu w linijce (1). Inny, równie krótki dowód to:

$ x,y \geq 2 \Rightarrow (x - 1)(y - 1) \geq 1 \Leftrightarrow xy \geq x + y. $