LIV OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

LIV OM, 2002-2003

Etap:

Dana jest liczba rzeczywista $a_1 > 1$ . Definiujemy ciąg $(a_n)$ wzorem

$ a_{n+1} = a_n^2 - a_{n} + 1 \ \textrm{dla}\ n \geq 1. $

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi nierówność

$ \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}<\frac{1}{a_1-1}. $

Rozwiązanie

Niech $b_n = a_n - 1$ . Wówczas daną w treści zadania zależność rekurencyjną możemy przepisać w postaci

$ b_{n+1} = b_n(b_n + 1) \ \textrm{dla}\ n \geq 1. $

Z powyższego wzoru oraz z nierówności $b_1 > 0$ uzyskujemy przez indukcję nierówność $b_n > 0$ dla dowolnego $n \geq 1$ . Ponadto

$ \frac{1}{b_{n}}-\frac{1}{b_{n+1}}=\frac{1}{b_{n}}-\frac{1}{b_{n}(b_n+1)}=\frac{b_n+1-1}{b_{n}(b_n+1)}=\frac{1}{b_n+1}=\frac{1}{a_n}. $

Stąd otrzymujemy

$ \begin{array}{l} \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n} =\\ \qquad=\left(\frac{1}{b_1} - \frac{1}{b_2} \right) + \left(\frac{1}{b_2} - \frac{1}{b_3} \right)+\left(\frac{1}{b_3} - \frac{1}{b_4}\right)+\ldots +\left(\frac{1}{b_n} - \frac{1}{b_{n+1}} \right) =\\ \qquad= \frac{1}{b_1} - \frac{1}{b_{n+1}} = \frac{1}{a_1-1} - \frac{1}{b_{n+1}}< \frac{1}{a_1-1}, \end{array} $

czego należało dowieść.