LIV OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

LIV OM, 2002-2003

Etap:

Trzy różne punkty $A$ , $B$ , $C$ leżą na okręgu $o$ . Proste styczne do okręgu $o$ w punktach $A$ i $B$ przecinają się w punkcie $P$ . Prosta styczna do okręgu $o$ w punkcie $C$ przecina prostą $AB$ w punkcie $Q$ . Udowodnić, że

$ PQ^2 = PB^2 + QC^2. $

Rozwiązanie

Niech $M$ będzie środkiem odcinka $AB$ (rys. 1). Wówczas trójkąt $PMQ$ jest prostokątny. Na mocy twierdzenia Pitagorasa oraz podobieństwa trójkątów $QBC$ i $QCA$ otrzymujemy

$ \begin{array}{rcl} PQ^2 &=& PM^2 + QM^2 = PB^2 - MB^2 + QM^2 \\ &=& PB^2 + (QM-MB )(QM+MB) \\ &=& PB^2 + QB \cdot QA = PB^2 + QC^2, \end{array} $

co należało udowodnić.