LIX OM - II etap

II etap LIX Olimpiady Matematycznej

Załącznik	Wielkość
LIX OM II etap - Zadania [1]	60.31 KB
LIX OM II etap - Zadania z rozwiązaniami [2]	121.4 KB

LIX OM - II -Zadanie 1

Zawody matematyczne:

LIX OM, 2007-2008

Etap:

Wyznaczyć największą możliwą długość ciągu kolejnych liczb całkowitych, z których każdą można przedstawić w
postaci $x^3 +2y^2$ dla pewnych liczb całkowitych $x, y$ .

Rozwiązanie

Ciąg pięciu kolejnych liczb całkowitych -1, 0, 1, 2, 3 spełnia warunki zadania: istotnie, mamy

$ -1=(-1)^3 +2\cdot 0^2,\; 0=0^3 +2\cdot 0^2,\; 1=1^3 +2\cdot 0^2,\; 2=0^3 +2\cdot 1^2,\; 3=1^3 +2\cdot 1^2. $

Z drugiej strony, wśród dowolnych sześciu kolejnych liczb całkowitych istnieje liczba, powiedzmy
$m$ , która daje resztę 4 lub resztę 6 z dzielenia przez 8. Liczba $m$ jest parzysta; gdyby więc istniało przedstawienie
w postaci $m = x^3 +2y^2$ dla pewnych liczb całkowitych $x, y$ , to liczba $x$ byłaby parzysta. Wówczas jednak
uzyskalibyśmy podzielność $8|x^3$ i w efekcie liczby $m$ i $2y^2$ dawałyby tę samą resztę (4 lub 6) z dzielenia przez 8.
Wobec tego liczba $y^2$ dawałaby resztę 2 lub 3 z dzielenia przez 4. Jest to niemożliwe: równości

$ (2k)^2 =4\cdot k^2,\quad (2k +1)^2 =4\cdot (k^2 +k)+1 $

dowodzą, że kwadrat liczby całkowitej może dawać przy dzieleniu przez 4 tylko resztę 0 lub 1.

Wykazaliśmy tym samym, że wśród dowolnych sześciu kolejnych liczb całkowitych istnieje liczba, której nie da się przedstawić
w postaci $x^3 +2y^2$ .

Odpowiedź: Największa możliwa długość takiego ciągu wynosi 5.

LIX OM - II -Zadanie 2

Zawody matematyczne:

LIX OM, 2007-2008

Etap:

W pięciokącie wypukłym $ABCDE$ spełnione są zależności

$ \measuredangle ABD &= \measuredangle ACE,& \measuredangle ACB &= \measuredangle ACD, \\ \measuredangle ADC &= \measuredangle ADE,& \measuredangle ADB &= \measuredangle AEC. $

Odcinki $BD$ i $CE$ przecinają się w punkcie $S$ . Dowieść, że proste $AS$ i $CD$ są prostopadłe.

Rozwiązanie

Z równości

$ \measuredangle ABD = \measuredangle ACE oraz \measuredangle ADB = \measuredangle AEC $

wynika (rys. 1), że trójkąty $BAD$ i $CAE$ są podobne (cecha kąt-kąt-kąt). Podobieństwo tych trójkątów
pozwala wnioskować, że

$ \measuredangle BAC = \measuredangle DAE \text{ oraz } \frac{BA}{DA}= \frac{CA}{EA} $

Zależności te dowodzą, że trójkąty $BAC$ i $DAE$ są podobne (cecha bok-kąt-bok). W konsekwencji otrzymujemy

$ (1) \qquad \measuredangle ABC = \measuredangle ADE = \measuredangle ADC. $

Ponadto prawdziwa jest zależność

$ \measuredangle ACB = \measuredangle ACD $

która w połączeniu z równością (1) implikuje, że trójkąty $ABC$ i $ADC$ są podobne (cecha kąt-kąt-kąt).
Mają one jednak wspólny odpowiedni bok $AC$ . Wobec tego trójkąty te są przystające i symetryczne względem prostej $AC$ .
Stąd wniosek, że proste $AC$ i $BD$ są prostopadłe.

Analogicznie dowodzimy, że proste $AD$ i $CE$ są prostopadłe. Zatem $S$ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta
$CAD$ . To oznacza, że prosta $AS$ zawiera trzecią wysokość tego trójkąta, czyli jest prostopadła do prostej $CD$ .

LIX OM - II -Zadanie 3

Zawody matematyczne:

LIX OM, 2007-2008

Etap:

Wyznaczyć wszystkie takie funkcje $f$ , określone na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych i przyjmujące
wartości rzeczywiste, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ i $y$ zachodzi równość

$ (1)\qquad f(f(x)-y)= f(x)+f(f(y)-f(-x))+x. $

Rozwiązanie

Oznaczmy $c = f(0)$ . Podstawiając $x = y = 0$ w równości (1) otrzymujemy zależność $f(c)= f(f(0)) = 2f(0) = 2c$ . Następnie
kładąc $x =0$ i $y = c$ stwierdzamy, że

$ c = f(0) = f(0)+f(f(c)-c)+0 = c +f(2c-c)= c+f(c)=3c. $

Wynika stąd, że $c = 0$ , czyli $f(0) = 0$ .

Przyjmując teraz w warunku (1) wartość $x = 0$ widzimy, że

$ (2) \qquad f(-y)= f(f(y)) \text{ dla każdej liczby rzeczywistej } y. $

Podstawmy z kolei $y = f(x)$ w równości (1). Wówczas na mocy własności (2) dla dowolnej wartości $x$ dostajemy zależność

$ \begin{split} 0 &= f(0) = f(f(x)-f(x)) = f(x)+f(f(f(x))-f(-x))+x = \\ &= f(x)+f(f(-x)-f(-x))+x = f(x)+f(0)+x = f(x)+x. \end{split} $

Stąd $f(x)=-x$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i pozostaje bezpośrednio sprawdzić, że funkcja dana tym wzorem
istotnie ma żądane własności.

Odpowiedź: Jedyną funkcją spełniającą warunki zadania jest $f(x)= -x$ .

LIX OM - II -Zadanie 4

Zawody matematyczne:

LIX OM, 2007-2008

Etap:

W każdym polu kwadratowej tablicy o rozmiarach $n \times n$ napisana jest liczba całkowita. Możemy wielokrotnie
wykonywać następującą operację: Wybieramy dowolne pole tabeli i zmniejszamy wpisaną weń liczbę o liczbę pól sąsiednich
(mających wspólny bok z wybranym polem), zaś każdą z liczb wpisanych w pola sąsiednie zwiększamy o 1.

Dla każdej liczby całkowitej $n \geqslant 2$ rozstrzygnąć, czy z dowolnej początkowej tabeli, w której suma wszystkich
$n^2$ liczb jest równa zeru, można otrzymać tabelę składającą się z samych zer.

Rozwiązanie

Niech $P$ oznacza przekątną tabeli łączącą jej lewy górny róg z prawym dolnym rogiem. Udowodnimy, że w wyniku
wykonania opisanej operacji nie zmienia się parzystość sumy liczb znajdujących się na przekątnej $P$ (na rys. 2 pola
leżące na przekątnej $P$ są zacieniowane).

Dla każdego pola na przekątnej $P$ liczba pól sąsiednich wynosi 2 albo 4 i żadne z nich nie leży na przekątnej $P$ .
Każde pole sąsiadujące z przekątną $P$ (na rys. 2 takie pola oznaczone są krzyżykami) sąsiaduje z dokładnie dwoma polami
leżącymi na przekątnej $P$ . Pozostałe pola tabeli nie leżą na przekątnej $P$ i z nią nie sąsiadują. Jeżeli więc suma liczb
na przekątnej $P$ przed wykonaniem operacji wynosiła $s$ , to w wyniku jej wykonania suma ta będzie równa $s-4$ , $s-2$ , $s$ lub
$s+2$ , czyli jej parzystość nie zmieni się.

Zatem jeśli na początku wpiszemy do tabeli liczbę 1 w lewym górnym rogu, liczbę -1 w polu leżącym w prawym górnym rogu
oraz liczbę 0 w każde z pozostałych pól, to suma wszystkich liczb w tabeli będzie równa zeru, ale po wykonaniu dowolnej
ilości operacji suma liczb leżących na przekątnej $P$ będzie nieparzysta. Wobec tego nie jest możliwe, by przekątna $P$ ,
a tym bardziej — cała tabela, składała się z samych zer.

Odpowiedź: Dla każdego $n \geqslant 2$ istnieje początkowa tabela o sumie liczb równej zeru, z której nie można
otrzymać tabeli złożonej z samych zer.

LIX OM - II -Zadanie 5

Zawody matematyczne:

LIX OM, 2007-2008

Etap:

Dany jest trójkąt $ABC$ , w którym $AC = BC$ . Punkt $D$ leży na boku $AB$ tego trójkąta, przy czym $AD < BD$ . Punkt
$E$ jest symetryczny do punktu $A$ względem prostej $CD$ . Wykazać, że

$ \frac{AC}{CD} = \frac{BE}{BD-AD} $

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $F$ punkt symetryczny do $A$ względem punktu $D$ (rys. 3). Na mocy nierówności $AD <BD$ punkt $F$
znajduje się wewnątrz odcinka AB.

Ponieważ $AD = DF$ oraz punkty $A$ i $E$ są symetryczne względem prostej $CD$ , więc stosując twierdzenie odwrotne do
twierdzenia Talesa stwierdzamy, że $CD || FE$ . Stąd w szczególności wynika, że proste $CD$ i $BE$ nie są równoległe,
zatem przecinają się one w pewnym punkcie $G$ . Ponadto

$ (1) \qquad \measuredangle BFE = \measuredangle BDG = \measuredangle CDA. $

Dalej, zauważmy, że $CA = CB = CE$ , punkty $A$ , $B$ i $E$ leżą więc na okręgu o środku w punkcie $C$ . Wobec tego otrzymujemy

$ (2) \qquad \measuredangle ABE = \measuredangle ACE = \measuredangle ACD. $

Łącząc równości (1) i (2) dochodzimy do wniosku, że trójkąty $ACD$ i $EBF$ są podobne (cecha kąt-kąt-kąt). Zatem

$ \frac{AC}{CD}=\frac{BE}{BF}=\frac{BE}{BD-AD} $

LIX OM - II -Zadanie 6

Zawody matematyczne:

LIX OM, 2007-2008

Etap:

Dana jest liczba całkowita dodatnia $n$ niepodzielna przez 3. Udowodnić, że istnieje liczba $m$ o następującej własności:
Każda liczba całkowita nie mniejsza niż $m$ jest sumą cyfr pewnej wielokrotności liczby $n$ .

Rozwiązanie

Przez liczbę dobrą będziemy rozumieć taką liczbę całkowitą dodatnią, która jest sumą cyfr pewnej wielokrotności liczby $n$ .

Zauważmy przede wszystkim, że suma dwóch liczb dobrych jest również liczbą dobrą. Rzeczywiście, niech $k_1, k_2$ będą
wielokrotnościami liczby $n$ o sumach cyfr odpowiednio równych $s_1, s_2$ . Niech $t$ będzie taką liczbą całkowitą, że
$10^t >k_2$ . Wówczas liczba $k = 10^t \cdot k_1 +k_2$ jest wielokrotnością liczby $n$ , zaś suma cyfr liczby $k$ jest równa
$s_1 +s_2$ , gdyż przy dodawaniu liczb $10^t \cdot k_1$ i $k_2$ niezerowe cyfry występują na różnych pozycjach.

Liczba $n$ nie jest podzielna przez 3, zatem jej suma cyfr a także nie jest podzielna przez 3.

Niech teraz $b$ będzie taką liczbą całkowitą, że $10^{3^b} >n$ . Przyjmijmy, że kolejnymi cyframi zapisu dziesiętnego
liczby $n$ są cyfry $c_1, c_2, \dots , c_l$ . Możemy oczywiście przyjąć, że $c_l \neq 0$ , gdyż podzielenie liczby
$n$ przez 10 nie zmienia warunków zadania. Wówczas kolejnymi cyframi zapisu dziesiętnego liczby
$(10^{3^b} -1)n = \underbrace{999\dots 99}_{3^b} \cdot n$ , podzielnej przez n, są cyfry:

$ c_1,c_2, \dots , c_l-1,c_l -1, \underbrace{9, 9, \dots , 9, 9}_{3^b-l}, 9-c_1, 9-c_2, \dots , 9-c_{l-1}, 10-c_l. $

Stąd wynika, że suma cyfr liczby $(10^{3^b} -1)n$ wynosi $9\cdot 3^b = 3^{b+2}$

Udowodniliśmy zatem, iż liczbami dobrymi są: liczba $a$ , która nie jest podzielna przez 3, oraz liczba $3^d$ , gdzie $d = b+2$ .

Wykażemy, że każda liczba całkowita nie mniejsza niż $a \cdot 3^d$ jest dobra. Wyniknie stąd, że liczba
$m = a\cdot 3^d$ spełnia tezę zadania.

Niech więc $s \geqslant a\cdot 3^d$ będzie dowolną liczbą całkowitą. Liczby

$ (*) \qquad s, s-a, s -2a, \dots , s-(3^d -1)a $

są wówczas dodatnie. Ponadto żadne dwie z nich nie dają tej samej reszty z dzielenia przez $3^d$ (gdyż podzielność
$3^d |(s - ia) - (s - ja)=(j - i)a$ przy pewnych wskaźnikach $0 \leqslant i,j \leqslant 3^d -1$ ze względu na niepodzielność
liczby a przez 3 jest możliwa tylko wtedy, gdy $3^d |j-i$ , co jednak pociąga $i=j$ ). Liczb wypisanych w ciągu (*) jest
$3d$ , istnieje więc wśród nich liczba, która jest podzielna przez $3^d$ . Niech na przykład $s-va = w \cdot 3^d$ . Wówczas
$v,w \geqslant 0$ oraz

$ s = \underbrace{a+a+ \dots +a}_{v}+\underbrace{3^d +3^d +\dots +3^d}_{w}. $

Liczby $a$ i $3^d$ są dobre. Zatem z powyższego przedstawienia wnioskujemy, że liczba $s$ jako suma liczb dobrych również jest
dobra, a tego dowodziliśmy.