LIV OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

LIV OM, 2002-2003

Liczba naturalna $n_1$ zapisana jest w układzie dziesiętnym za pomocą 333 cyfr, z których żadna nie jest zerem. Dla $i = 1 , 2, 3, \ldots , 332$ liczba $n_{i+1}$ powstaje z liczby $n_i$ przez przeniesienie cyfry jedności na początek. Dowieść, że albo wszystkie liczby $n_1, n_2, n_3, \ldots , n_{333}$ są podzielne przez 333, albo żadna z nich.

Rozwiązanie

Niech $j_i$ $(i = 1,2,3,\ldots ,333)$ oznacza cyfrę jedności liczby $n_i$ . Wówczas dla $i =1,2,\ldots,332$ mamy

$<br /> (1) \qquad n_{i+1}=\frac{n_i+10^{333}j_i-j_i}{10},\ \textrm{skąd}\ 10n_{i+1}=n_i+(10^{333}-1)j_i.<br />$

Liczba $10^{333} - 1 = (10^3 - 1) \cdot (10^{330} + 10^{327} + 10^{324} +\ldots + 10^3 + 1)$ jest podzielna przez 333 oraz liczby 10 i 333 są względnie pierwsze. Z drugiej równości (1) wynika zatem, że liczba $n_i$ jest podzielna przez 333 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba $n_{i+1}$ jest podzielna przez 333.

Jeśli liczba $n_1$ jest podzielna przez 333, to na mocy powyższego stwierdzenia uzyskujemy (indukcyjnie) podzielność przez 333 każdej z liczb $n_2, n_3, \ldots , n_{333}$ . Jeżeli natomiast liczba $n_1$ nie dzieli się przez 333, to analogicznie jak wyżej wnioskujemy, że żadna z liczb $n_2, n_3, \ldots , n_{333}$ nie dzieli się przez 333.