Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

LIV OM - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

LIV OM, 2002-2003

Etap:

I

W czworościanie $ABCD$ punkty $M$ i $N$ są odpowiednio środkami krawędzi $AB$ i $CD$ . Punkt $P$ leży na odcinku $MN$ , przy czym $MP = CN$ oraz $NP = AM$ . Punkt $O$ jest środkiem sfery opisanej na czworościanie $ABCD$ . Dowieść, że jeżeli $O \neq P$ , to $OP \perp MN$ .

Rozwiązanie

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$<br /> \alpha = \measuredangle OPM,\ a = AM = MB = NP, \ b = CN = ND = MP, x = OP.<br />$

Wówczas na mocy twierdzenia cosinusów mamy

$<br /> (1) \qquad OM^2 = b^2 + x^2 + 2bx \cos \alpha \ \textrm{oraz}\ ON^2 = a^2 + x^2 2ax \cos \alpha .<br />$

Ponadto korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy

$<br /> (2) \qquad OM^2 + a^2 = OA^2 = OD^2 = ON^2 + b^2.<br />$

Odejmując stronami równości (1) oraz wykorzystując zależność (2) uzyskujemy $2(a + b)x \cos a = 0$ . Stąd $\alpha = 90^\circ$ , czyli $OP \perp MN$ .

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/304