LIV OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

LIV OM, 2002-2003

Etap:

Znaleźć wszystkie wielomiany $W$ o współczynnikach rzeczywistych, mające następującą własność: jeśli $x+ y$ jest liczbą wymierną, to

$ W(x) + W(y) $

jest liczbą wymierną.

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że warunki zadania są spełnione przez każdy wielomian postaci $W(x) = ax + b$ , gdzie $a$ i $b$ są liczbami wymiernymi.

Udowodnimy, że są to wszystkie wielomiany o własności podanej w zadaniu.

Niech $W$ będzie wielomianem spełniającym warunki zadania. Dla liczby wymiernej $q$ rozważamy wielomian $P(x) = W(q + x) + W(q - x)$ . Wielomian $P$ przyjmuje wartości wymierne dla wszystkich argumentów rzeczywistych $x$ , jest więc wielomianem stałym równym $P(0) = 2W(q)$ . Stąd wynika, że dla dowolnej liczby całkowitej $n$ zachodzi równość $W(n - 1) + W(n +1) = 2W(n)$ , czyli

$ W(n) - W(n - 1) = W(n +1) - W(n). $

Niech $V(x) = W(x) - ax - b$ , gdzie $a = W(1) - W(0)$ oraz $b = W(0)$ . Wówczas $V(0) = V(1) = 0$ oraz dla dowolnej liczby całkowitej n zachodzi równość

$ V(n) - V(n - 1) = V(n +1) - V(n). $

Zatem wielomian $V$ przyjmuje wartość $0$ dla wszystkich argumentów całkowitych, musi więc być wielomianem zerowym, a w konsekwencji $W(x) = ax + b$ .