LIV OM - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

LIV OM, 2002-2003

Etap:

Dany jest czworokąt wypukły $ABCD$ . Punkty $P$ i $Q$ , różne od wierzchołków czworokąta, leżą odpowiednio na bokach $BC$ i $CD$ , przy czym $\measuredangle BAP = \measuredangle DAQ$ . Udowodnić, że trójkąty $ABP$ i $ADQ$ mają równe pola wtedy i tylko wtedy, gdy ich ortocentra leżą na prostej prostopadłej do $AC$ .

Uwaga: Ortocentrum trójkąta to punkt przecięcia wysokości.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $K$ , $L$ rzuty prostokątne punktów $A$ , $B$ odpowiednio na proste $BC$ , $AP$ (rys. 3). Niech ponadto $H$ oznacza ortocentrum trójkąta $ABP$ oraz niech $X$ będzie rzutem prostokątnym punktu $H$ na prostą $AC$ .

Korzystając z podobieństwa trójkątów prostokątnych $AHL$ i $APK$ otrzymujemy

$ \frac{AH}{AL}=\frac{AP}{AK}. $

Analogicznie, z podobieństwa trójkątów prostokątnych $AHX$ i $ACK$ uzyskujemy zależność

$ \frac{AH}{AX}=\frac{AC}{AK}. $

Wprowadźmy następujące oznaczenie:

$ \alpha = \measuredangle BAP = \measuredangle DAQ. $

Z nierówności $\measuredangle BAD < 180^\circ$ wynika, że $\alpha< 90^\circ$ . Zatem

$ (1) \qquad AC\cdot AX = AH\cdot AK = AP\cdot AL = AP\cdot BL\cdot \mathrm{ctg} \alpha = 2 [ABP] \cdot \mathrm{ctg}\alpha, $

gdzie $[TUW]$ oznacza pole trójkąta $TUW$ .

Oznaczmy przez $Y$ rzut prostokątny ortocentrum trójkąta $ADQ$ na prostą $AC$ . Wówczas, analogicznie jak wyżej, otrzymujemy zależność

$ (2) AC \cdot AY = 2[ADQ] \cdot \mathrm{ctg} \alpha. $

Porównując równości (1) oraz (2) wnioskujemy, że $[ABP] = [ADQ]$ wtedy i tylko wtedy, gdy $AX = AY$ . Ostatnia równość jest równoważna stwierdzeniu, że ortocentra trójkątów $ABP$ i $ADQ$ leżą na prostej prostopadłej do $AC$ , jeśli przekonamy się, że punkty $X$ i $Y$ leżą na prostej $AC$ po tej samej stronie punktu $A$ .

W tym celu wykażemy, że punkt $X$ leży na półprostej $AC^\rightarrow$ Ponieważ $\alpha< 90^\circ$ , więc punkt $H$ leży na półprostej $AK^\rightarrow$ . Ponadto trójkąt $AKC$ jest prostokątny (lub $K = C$ ), więc rzut prostokątny półprostej $AK^\rightarrow$ na prostą $AC$ pokrywa się z półprostą $AC^\rightarrow$ Stąd bezpośrednio wynika, że punkt $X$ leży na półprostej $AC^\rightarrow$ Analogicznie dowodzimy, że punkt $Y$ leży na półprostej $AC^\rightarrow$ , co kończy rozwiązanie zadania.

Uwaga: Rysunek 3 przedstawia przypadek, w którym trójkąty $ABP$ i $ADQ$ są ostrokątne. Zaprezentowane rozwiązanie pozostaje jednak w mocy dla każdej innej konfiguracji spełniającej warunki zadania.