LIV OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

LIV OM, 2002-2003

Etap:

Dla liczb dodatnich $a$ , $b$ , $c$ , $d$ określamy

$ A = a^3 + b^3 + c^3 + d^3, \ B = bcd + cda + dab + abc. $

Udowodnić nierówność

$ (a + b + c + d)^3 < 4A + 24B. $

Rozwiązanie

Niech $S = a + b + c + d$ . Wtedy $S^3 = A + 6B + 3Q$ , gdzie

$ \begin{array}{rcl} Q &=& a^2(b+c + d)+ b^2 (c + d+a)+ c^2 (d+a + b) + d^2(a + b+c) = \\ &=& a^2(S - a) + b^2(S - b)+ c^2(S - c) + d^2 (S - d) = \\ &=& a(Sa - a^2) + b(Sb - b^2) + c(Sc - c^2) + d(Sd - d^2). \end{array} $

Korzystając z nierówności

$ 0\leq \left(x- \frac{S}{2} \right)^2=x^2-Sx+\frac{S^2}{4} $

prawdziwej dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ otrzymujemy

$ Sa - a^2 \leq \frac{S^2}{4},\ Sb-b^2 \leq \frac{S^2}{4},\ Sc - c^2 \leq \frac{S^2}{4} \ \textrm{oraz} \ Sd - d^2 \leq \frac{S^2}{4}. $

Zatem

$ Q \leq (a + b+c + d) \cdot \frac{S^2}{4} = \frac{S^3}{4}, \ \textrm{skąd} \ S^3 \leq A + 6B + \frac{3S^3}{4} , $

co daje $S^3 < 4A + 24B$ , czyli nierówność, którą należało udowodnić.