LIV OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

LIV OM, 2002-2003

Etap:

Dowieść, że istnieje taka liczba całkowita $n> 2003$ , że w ciągu

$<br /> {n \choose 0},\ {n \choose 1}, {n \choose 2},\ldots ,{n \choose 2003}<br />$

każdy wyraz jest dzielnikiem wszystkich wyrazów po nim następujących.

Rozwiązanie

Liczba ${n \choose {k+1}}$ jest podzielna przez ${n \choose k},$ wtedy i tylko wtedy, gdy liczba

$<br /> \frac{{n \choose {k+1}}}{{n \choose k}}=\frac{n!}{(k+1)!\cdot(n-k-1)!}\frac{k!\cdot(n-k)!}{n!} =\frac{n-k}{k+1}=\frac{n+1}{k+1}-1<br />$

jest całkowita. Zatem liczba $n$ spełnia warunki zadania wtedy i tylko wtedy, gdy liczba $n +1$ jest podzielna przez każdą z liczb $1, 2, 3, 4, \ldots, 2003$ . Taką liczbą jest na przykład $n = 2003! - 1$ .