LIV OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

LIV OM, 2002-2003

Etap:

Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg $o$ . Dwusieczne kątów $DAB$ i $ABC$ przecinają się w punkcie $P$ , a dwusieczne kątów $BCD$ i $CDA$ przecinają się w punkcie $Q$ . Punkt $M$ jest środkiem tego łuku $BC$ okręgu $o$ , który nie zawiera punktów $D$ i $A$ . Punkt $N$ jest środkiem tego łuku $DA$ okręgu $o$ , który nie zawiera punktów $B$ i $C$ . Dowieść, że punkty $P$ i $Q$ leżą na prostej prostopadłej do $MN$ .

Rozwiązanie

Załóżmy najpierw, że proste $AD$ i $BC$ są równoległe. Wówczas czworokąt $ABCD$ jest trapezem równoramiennym. Jego podstawy $BC$ i $AD$ są prostopadłe do prostej $MN$ . Ponadto punkty $P$ i $Q$ leżą na prostej równoległej do podstaw trapezu i równoodległej od nich. Stąd teza.

Przyjmijmy z kolei, że proste $AD$ i $BC$ nie są równoległe i przecinają się w punkcie $S$ (rys. 1). Punkt $P$ jest środkiem okręgu stycznego do odcinków $AB$ , $BC$ , $DA$ , zaś punkt $Q$ jest środkiem okręgu stycznego do odcinków $CD$ , $BC$ , $DA$ . Stąd wynika, że punkty $P$ , $Q$ leżą na dwusiecznej kąta $ASB$ . Należy zatem wykazać, że dwusieczna ta jest prostopadła do prostej $MN$ .

Oznaczmy przez $K$ , $L$ odpowiednio punkty przecięcia odcinka $MN$ z prostymi $BC$ , $AD$ (rys. 2). Zadanie będzie rozwiązane, jeśli wykażemy, że trójkąt $SKL$ jest równoramienny.

Przez punkty $M$ i $N$ poprowadźmy proste styczne do danego okręgu. Proste te są równoległe odpowiednio do prostych $BC$ i $AD$ oraz wyznaczają - razem z prostą $MN$ - trójkąt równoramienny $MNX$ . Stąd

$<br /> \measuredangle SKL = \measuredangle XMN = \measuredangle XNM = \measuredangle SLK.<br />$

Otrzymana równość dowodzi, że trójkąt $SKL$ jest równoramienny, co kończy rozwiązanie zadania.