LIV OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

LIV OM, 2002-2003

Etap:

Dany jest wielomian $W(x) = x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 9x$ . Wyznaczyć wszystkie pary różnych liczb całkowitych $a$ , $b$ spełniających równanie

$ W (a) = W (b). $

Rozwiązanie

Zauważmy, że $W(x) = (x - 1)(x - 2) (x^2 + 3) - 6$ . Dla $n> 3$ zachodzą więc nierówności

$ \begin{array}{rcl} W(n) + 6 &=& (n - 1)(n - 2)(n^2 + 3) = (n^2 - 3n + 2)(n^2 + 3) < \\ &<& (n^2 - 2n + 4)(n^2 + n) = n(n + 1)((n - 1)^2 + 3) =\\ &=& W (-n +1) + 6, \end{array} $

a ponadto

$ \begin{array}{rcl} W(-n + 1) + 6 &<& (n^2 - n)(n^2 + 2n + 4)= n(n - 1)((n + 1)^2 + 3) = \\ &=& W (n +1)+6. \end{array} $

Stąd otrzymujemy

$ (1) \qquad W (3) < W (-2) < W (4) < W (-3) < W (5) < W (-4) < W (6) \ldots . $

Zatem wartości wielomianu $W$ w punktach $-2, \pm 3, \pm 4, \ldots$ są parami różne. Bezpośrednio obliczamy, że

$ W (-1) = 18,\ W (0) = 0,\ W (1) = -6,\ W (2) = -6,\ W (3) = 18, $

zaś z nierówności (1) wnioskujemy, że wartości wielomianu $W$ w pozostałych punktach całkowitych są większe od $W(3) = 18$ . Stąd otrzymujemy łącznie cztery pary liczb spełniających warunki zadania:

$ (-1,3),\ (3, -1),\ (1,2),\ (2,1). $