LIV OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

LIV OM, 2002-2003

Etap:

Wykazać, że dla każdej liczby pierwszej $p > 3$ istnieją liczby całkowite $x$ , $y$ , $k$ spełniające warunki: $0 < 2k <p$ oraz

$ kp + 3 = x^2 + y^2 . $

Rozwiązanie

Niech $A$ będzie zbiorem liczb postaci $x^2$ , gdzie $0 \leq x<p/2$ , natomiast $B$ zbiorem liczb postaci $3 - y^2$ , gdzie $0 \leq y<p/2$ ; liczby $x$ , $y$ są całkowite. Wykażemy, że liczby ze zbioru $A$ dają różne reszty z dzielenia przez $p$ .

Przypuśćmy, że liczby $x_1^2$ , $x_2^2$ ze zbioru $A$ dają taką samą resztę z dzielenia przez $p$ . Wtedy

$ p|x_1^2-x_2^2, $

skąd mamy podzielność

$ p|(x_1-x_2)(x_1+x_2). $

Ponieważ $0 \leq x_1$ , $x_2 < p/2$ , więc $-p/2 <x_1 - x_2 <p/2$ oraz $0 \leq x_1 + x_2 < p$ . Stąd oraz z powyższej podzielności wnioskujemy, że $x_1 = x_2$ .

Zatem liczby ze zbioru $A$ dają różne reszty z dzielenia przez $p$ . Analogicznie dowodzimy, że liczby ze zbioru $B$ dają różne reszty z dzielenia przez $p$ .

Ponieważ zbiory $A$ i $B$ mają łącznie $p +1$ elementów, więc istnieją dwie liczby - jedna ze zbioru $A$ , druga ze zbioru $B$ - dające z dzielenia przez $p$ tę samą resztę. Niech $x^2$ i $3 - y^2$ będą tymi liczbami. Wówczas liczba $x^2 + y^2 - 3$ jest podzielna przez $p$ , mamy więc