LIV OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

LIV OM, 2002-2003

Etap:

Punkt $A$ leży na zewnątrz okręgu $o$ o środku $O$ . Z punktu $A$ poprowadzono dwie proste styczne do okręgu $o$ odpowiednio w punktach $B$ i $C$ . Pewna styczna do okręgu $o$ przecina odcinki $AB$ i $AC$ odpowiednio w punktach $E$ i $F$ . Proste $OE$ i $OF$ przecinają odcinek $BC$ odpowiednio w punktach $P$ i $Q$ . Udowodnić, że z odcinków $BP$ , $PQ$ i $QC$ można zbudować trójkąt podobny do trójkąta $AEF$ .

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $X$ punkt styczności okręgu $o$ z prostą $EF$ (rys. 3). Z równości

$ EB = EX \ \textrm{oraz} \ \measuredangle BEP = \measuredangle XEP $

wynika, że trójkąty $BEP$ oraz $XEP$ są przystające. Zatem $BP = XP$ .

Analogicznie dowodzimy równość $CQ = XQ$ . To oznacza, że trójkąt $PQX$ jest zbudowany z odcinków $BP$ , $PQ$ oraz $QC$ .

Pozostaje wykazać, że trójkąt $PQX$ jest podobny do trójkąta $FEA$ . Oznaczmy: $\measuredangle FEA = \alpha$ , $\measuredangle EFA = \beta$ . Trójkąt $ABC$ jest równoramienny, skąd obliczamy, że $\measuredangle ABC = \frac{1}{2} (\alpha+\beta)$ . Ponadto $\measuredangle BEP = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \alpha$ . Dwie ostatnie równości implikują