LIV OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

LIV OM, 2002-2003

Etap:

III

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ odcinek $CD$ jest wysokością. Przez środek $M$ boku $AB$ poprowadzono taką prostą przecinającą półproste $CA$ i $CB$ odpowiednio w punktach $K$ i $L$ , że $CK = CL$ . Punkt $S$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $CKL$ . Wykazać, że $SD = SM$ .

Rozwiązanie

Z twierdzenia Menelausa zastosowanego do trójkąta $ABC$ otrzymujemy

$<br /> \frac{CK}{AK}\cdot\frac{AM}{MB}\cdot\frac{BL}{CL}=1,\ \textrm{skąd}\ AK=BL.<br />$

Niech $E$ będzie drugim punktem przecięcia prostej $CS$ z okręgiem opisanym na trójkącie $CKL$ (rys. 1). Z równości $CK = CL$ wynika, że $EK = EL$ . Ponadto $\measuredangle AKE = 90^\circ = \measuredangle BLE$ .