LIV OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

LIV OM, 2002-2003

Etap:

III

Liczba $a$ jest dodatnia i mniejsza od 1. Dowieść, że dla każdego skończonego, ściśle rosnącego ciągu nieujemnych liczb całkowitych ( $k_1,\ldots,k_n$ ) zachodzi nierówność

$ \left( \sum_{i=1}^n a^{k_i} \right)^2 < \frac{1+a}{1-a} \sum_{i=1}^n a^{2k_i}. $

Rozwiązanie

Stosujemy indukcję względem $n$ . Dla $n =1$ nierówność ma postać

$ 1<\frac{1+a}{1-a} $

i oczywiście jest spełniona. Ustalmy $n \geq 2$ i załóżmy, że nierówność jest spełniona dla każdego rosnącego ciągu długości $n-1$ . Weźmy pod uwagę dowolny rosnący ciąg długości $n$ : $0 \leq k_1 <k_2 < \ldots <k_n$ . Dzieląc dowodzoną nierówność stronami przez $a^{2k_l}$ możemy bez straty ogólności przyjąć, że $k_1 = 0$ . Wówczas

$ (1) \qquad \left( \sum_{i=1}^n a^{k_i} \right)^2=\left(1 + \sum_{i=2}^n a^{k_i} \right)^2=1+ 2\sum_{i=2}^n a^{k_i}+\left( \sum_{i=2}^n a^{k_i} \right)^2. $

Z nierówności $0 <k_2 <k_3 < \ldots<k_n$ oraz $0 <a< 1$ wynika, że

$ \sum_{i=2}^n a^{k_i} \leq \sum_{j=1}^{k_n} a^j <\frac{a}{1-a}. $

Stąd, z równości (1) oraz z założenia indukcyjnego uzyskujemy

$ \left( \sum_{i=1}^n a^{k_i} \right)^2 < 1+ \frac{2a}{1-a} +\frac{1+a}{1-a} \sum_{i=2}^n a^{2k_i} = \frac{1+a}{1-a}\left(1+ \sum_{i=2}^n a^{2k_i}\right) = \frac{1+a}{1-a} \sum_{i=1}^n a^{2k_i}. $

To kończy krok indukcyjny i rozwiązanie zadania.