LIV OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

LIV OM, 2002-2003

Etap:

III

Wyznaczyć wszystkie wielomiany $W$ o współczynnikach całkowitych, spełniające następujący warunek: dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $2^n-1$ jest podzielna przez $W(n)$ .

Rozwiązanie

Niech $W(x) = a_0 + a_1x +\ldots + a_rx^r$ będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych, spełniającym rozważany warunek. Przypuśćmy, że dla pewnej liczby naturalnej $k$ wartość $W(k)$ jest różna od $1$ i od $-1$ ; ma więc dzielnik pierwszy $p$ . Niech $m = k + p$ . Różnica $W(m) - W(k)$ jest sumą różnic postaci $a_j(m^j - k^j)$ , które są liczbami podzielnymi przez $m - k$ , czyli przez $p$ . Zatem $W(m)$ dzieli się przez $p$ .

Z warunku zadania wynika, że $p$ jest dzielnikiem liczb $2^k - 1$ oraz $2^m - 1$ ; jest więc nieparzystym dzielnikiem pierwszym liczby $2^m - 2^k = 2^k (2^p - 1)$ , czyli jest dzielnikiem liczby $2^p - 1$ . To jednak nie jest możliwe, bowiem

$<br /> 2^p-1=1+{p \choose 1}+{p \choose 2}+\ldots+{p \choose {p-1}},<br />$

a wartości symbolu Newtona ${p \choose i}$ są dla $i = 1,\ldots,p- 1$ liczbami podzielnymi przez $p$ .

Sprzeczność dowodzi, że $W(n) = \pm 1$ dla każdej liczby naturalnej $n$ . Stąd wniosek, że $W$ jest wielomianem równym tożsamościowo $1$ lub równym tożsamościowo $-1$ . Oczywiście każdy z tych dwóch wielomianów spełnia postulowany warunek.