LIV OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

LIV OM, 2002-2003

Etap:

III

Dana jest liczba pierwsza p oraz takie liczby całkowite $x$ , $y$ , $z$ , że

$ 0 <x <y < z <p. $

Wykazać, że jeśli liczby $x^3$ , $y^3$ , $z^3$ dają takie same reszty przy dzieleniu przez $p$ , to liczba $x^2 + y^2 + z^2$ jest podzielna przez $x + y + z$ .

Rozwiązanie

Ponieważ liczba $y^3 - x^3 = (y - x)(x^2 + xy + y^2)$ jest podzielna przez $p$ oraz $0 <y - x<p$ , więc liczba $x^2 + xy + y^2$ jest podzielna przez $p$ . Podobnie liczby $y^2 + yz + z^2$ oraz $x^2 + xz + z^2$ są podzielne przez $p$ . Zatem liczba

$ (x^2 + xy + y^2) - (y^2 + yz + z^2) = (x - z)(x + y + z) $

jest również podzielna przez $p$ , co implikuje podzielność przez $p$ liczby $x+y+z$ . Liczba ta jako mniejsza od $3p$ jest więc równa $p$ lub $2p$ .

Z podzielności przez $p$ liczb $x^2+xy+y^2$ , $y^2+yz+z^2$ oraz $x^2+xz+z^2$ wynika podzielność przez $p$ ich sumy pomnożonej przez $2$ , czyli liczby

$ 2(2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + xy + yz + xz) =3(x^2 + y^2 + z^2) + (x + y + z)^2 . $

Z danych w treści zadania nierówności wnioskujemy, że $p> 3$ , co w połączeniu z powyższą równością dowodzi podzielności przez $p$ liczby $x^2 + y^2 + z^2$ .

Zatem w przypadku $x + y + z = p$ zadanie zostało rozwiązane. Jeśli zaś $x + y + z = 2p$ , to z równości $(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)$ wynika, że liczba $x^2+y^2+z^2$ jest parzysta. Jest ona również podzielna przez $p$ , a zatem dzieli się także przez $x+ y+ z$ .