LIV OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

LIV OM, 2002-2003

Etap:

III

Sfera wpisana w czworościan $ABCD$ jest styczna do ściany $ABC$ w punkcie $H$ . Druga sfera jest styczna do ściany $ABC$ w punkcie $O$ oraz jest styczna do płaszczyzn zawierających pozostałe ściany tego czworościanu w punktach, które do czworościanu nie należą. Dowieść, że jeżeli $O$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ , to $H$ jest punktem przecięcia wysokości tego trójkąta.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $K$ i $L$ punkty styczności sfery wpisanej w czworościan $ABCD$ odpowiednio ze ścianami $ACD$ i $BCD$ . Niech ponadto $P$ i $Q$ będą punktami styczności drugiej rozważanej w treści zadania sfery, odpowiednio z płaszczyznami $ACD$ i $BCD$ . Wówczas trójkąty $KCP$ i $LCQ$ są przystające (cecha bok-bok-bok). Obróćmy trójkąt $KCP$ wokół prostej $AC$ tak, aby punkt $K$ przeszedł na punkt $H$ ; niech przy tym obrocie $P$ przejdzie na $P'$ . Podobnie, obróćmy trójkąt $LCQ$ wokół prostej $BC$ tak, aby punkt $L$ przeszedł na punkt $H$ ; niech przy tym obrocie $Q$ przejdzie na $Q'$ .

Dalsza część rozwiązania rozgrywa się w płaszczyźnie trójkąta $ABC$ : Trójkąty $HCP'$ i $HCQ'$ są przystające, więc $P'Q' \perp CH$ . Ponadto czworokąty $AOCP'$ i $BOCQ'$ są rombami, co implikuje $AB \parallel P'Q'$ . Zatem $CH \perp AB$ .

Analogicznie dowodzimy, że $BH \perp AC$ , a to oznacza, że $H$ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta $ABC$ .