LIII OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

LIII OM, 2001-2002

Etap:

Dana jest taka funkcja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodzą równości

$ f(x) = f(2x) = f(1 - x) . $

Dowieść, że funkcja $f$ jest okresowa.

Rozwiązanie

Na mocy danych w treści zadania równości, otrzymujemy dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ :

$ \begin{array}{rcl} f (x) &=& f (2x) = f (1 - 2x) =\\ &=& f(\frac{1}{2} (1 - 2x)) = f(\frac{1}{2} -x) = f(1 - (\frac{1}{2} -x)) = f(x + \frac{1}{2}), \end{array} $

co dowodzi, że funkcja $f$ jest okresowa o okresie $\frac{1}{2}$ .